Construcción y Cálculo del segmento ÁUREO de un segmento dado
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SegmentoÁUREO
Sea AB (fig 10) el segmento dado.
En unos de los extremos levantésmosle una perpendicular y tomemos sobre ella el segmento BO = ½ AB.
Con centro en O y radio OB describimos una circunferencia y tracemos la secante AD pasando por el centro O. Con centro en A y radio AC cortemos a AB en P.El segmento AP es el segmento áureo de AB. En efecto, como desde A hay trazadas una tangente y una secante a la circunferencia, se verifica AD:AB = AB :AC Por una propiedad de las proporciones
(AD – AB)/AB = ( AB – AC )/AC
pero AD – AB = AD – CD = AC, Puesto que siendo el radio de la circunferencia igual a ½ AB. Además AB – AC = AB – AP = PB, y por la proporcion anterior se conviente en:
AC : AB = PB : AC
Invirtiendo las razonnes y teniendo en cuenta que AC = AP, resulta
AB : AP = AP : PB
lo que justifica la construcción anterior, puesto que P divide a AB en media y extrema razón, de acuerdo con la definición. OBSERVACIÓN: Además de P, existe sobre la recta que contiene a AB, otro punto a la izquierda de A que también divide en media y extrema razón. Para obtenerlo basta hacer en A y con radio AD cortar la prolongación de BA
CALCULO DEL SEGMENTO ÁUREO
Sea P = x, el segmento áureo de un segmento dado a. Calculemos x en función de a. Fig 11
se tiene que a : x = x : (a – x) resolviendo la ecuación resulta: x2 = a(a – x) de donde x2 + ax – a2 = 0
las dos raices son x = - a/2 ± √(a2/4 + a2)
separando las raices
x1 = - a/2 + a/2√(5) = a/2 (-1 + √(5))
x2 = - a/2 - a/2√(5) = a/2 (-1 - √(5))
considerando unicamente el valor positivo de la raíz, se obtiene para el segmento áureo la longitud siguiente x = a/2 *(√(5) -1) Aproximadamente
x = a/2 *(2,236 -1) =a/2 *1,236 = 0,618a
como 0,618 > ½ resulta
r > ½ a
luego el segmento áureo de un segmento dado es siempre mayor que la mitad del segmento.
Fuente
Matemática Cuarto curso. Geometría.de Antonio Paz
Enlace externo
http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm http://personal.telefonica.terra.es/web/imarti22/actividades/actividades/teano/marco_teano2.htm http://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100909191920AAl5d2N http://harapos.blogspot.com/2005/07/segmento-ureo.html
