Anillo con división

Anillo con división Concepto: Es un anillo con unidad, en el que cualquier elemento no nulo tiene su inverso multiplicativo.

Anillo con división. En matemáticas, especialmente, en álgebra abstracta , en la definición de los anillos se exige que haya un conjunto no vacío y dos operaciones binarias llamadas, generalmente, adición y multiplicación; respecto a la primera el conjunto es un grupo aditivo abeliano, respecto a la multiplicación es requisito que sea un semigrupo, no es necesario que sea conmutativo, tampoco exista el elemento identidad multiplicativo. Pero en el caso de haya identidad multiplicativa y cada elemento no nulo tenga su inverso multiplicativo se constituye en un nuevo e importante tipo de anillo.

Un anillo con división es un anillo con unidad, en el que cualquier elemento no nulo tiene su inverso multiplicativo.

Cualquier cuerpo algebraico es un anillo con división conmutativo. Hay anillos de división no conmutativos.

Por el teorema de Wedderburn, todo anillo con división finito es un cuerpo finito.

Casos ilustrativos

• El anillo de las funciones reales continuas definidas en [0; 1] con la suma f+g y el producto fºg(x) = f[g(x)], no es conmutativo, su identidad multiplicativa es I(x) =x.

• Z₁₇ = {0, 1,2,..., 15,16} ( restos de división de enteros por 17); donde 2x9 = 1, 3x6= 1, 4x13= 1, 5x7= 1, 8X15= 1, 10x12= 1, 11x14= 1, 16x16 = 1, 1x1 = 1.Cada elemento no nulo, tiene su inverso multiplicativo-
• El anillo de las matrices cuadradas reales, M₂(R), con determinante no nulo, es un anillo con división, cuya identidad multiplicativa es la matriz 2x2, tal que que los elementos que no están la diagonal principal son 0 y en esta, son 1.

Características

• Todo dominio entero finito es un anillo con división.
• Los campos fintos (orden primo) son anillos con división
• El centro Z' de un anillo de división K es un cuerpo algebraico, y sus elemento son aquellos que conmutan con cualquier elemento de K.
• Los anillos de división se pueden clasificar según su dimensión sobre su centro A : Z'

En el ejemplo del anillo de los cuaternios reales, el centro está formado por todos los elementos de la forma a(1,0,0,0) y se puede establecer un isomorfismo con el conjunto R de todos los números reales.

Fuentes

• Fraleigh. Álgebra abstracta
• Kostrikin:Introducción al álgebra