Ecuación Bicuadrada

En matemáticas, una ecuación bicuadrada es un caso particular de la ecuación de cuarto grado. Tiene la forma:

ax⁴ + bx² + c = 0

Se dice que la ecuación es simétrica cuando a = c.

Otra perspectiva

• Una ecuación bicuadrada se puede considerar como una ecuación trinomia .
• Si se considera f =0; f, como función bicuadrada es la composición de una función polinomial g de segundo grado completa con la función h = x²

Ejemplos

• x⁴ + x² + 2 = 0.
• 2x⁴ - x² + 1 = 0.
• 2x⁴ - x² + 2 = 0 (ecuación simétrica)

Resolución

El método habitual de resolver una ecuación bicuadrada es aplicar el cambio de variable t = x² para transformarla en la ecuación de segundo grado: at² + bt + c = 0.

Sean t₁ y t₂ las dos soluciones de la ecuación anterior. Entonces, las cuatro soluciones de la ecuación bicuadrada se obtienen al deshacer el cambio de variable, es decir, al calcular las raíces cuadradas de estas dos:

• x₁ = +√ t₁
• x₂ = -√ t₁
• x₃ = +√ t₂
• x₄ = -√ t₂

El número y tipo de las soluciones depende del número, tipo y signo de las soluciones de la ecuación de segundo grado. Por ejemplo, si las soluciones t₁ y t₂ son (reales) negativas, entonces las soluciones de la bicuadrada son complejas.

Ejempo

Al aplicar el cambio de variable t = x² a la ecuación bicuadrada x⁴ -2x² + 1 = 0 se obtiene la ecuación de segundo grado t² -2t + 1 = 0 cuyas soluciones son t₁ = t₂ = 1. Por tanto, la ecuación bicuadrada tiene sólo dos soluciones: x₁ = +1 y x₂ = -1.

Véase también

• Ecuaciones de segundo grado