Espiral de Durero
| ||||||
Espiral de Durero, Es una de las espirales gnómicas basadas en el famoso número de oro, o mejor dicho, en los rectángulos áureos.
La espiral de Durero es útil para investigar las conchas de algunos moluscos, los cuernos de algunos animales, las hileras de piñones en la piña, las semillas de una flor de girasol.
Tiene como característica principal el que los puntos sobre los que se traza se corresponden con rectángulos cuyos lados son dos números de la sucesión de Fibonacci.
Historia
Alberto Durero fue un artista alemán del Renacimiento y gran enamorado de las Matemáticas, especialmente conocido por sus grabados, en 1525, publicó la obra titulada “Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas”, en la que describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, la misma que hoy conocemos como “Espiral de Durero”.
La espiral vinculada a los [rectángulos áureos] gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos).
Esta espiral es muy famosa en el arte ya que tras ella se encuentra el número de oro. Se construye a partir de los rectángulos áureos, que son aquellos en que la razón de sus lados es fi, , el número de oro.
Ecuaciones
Sus ecuaciones son las siguientes:
- Ecuación cartesiana:
(x2+y2)(2 (x2+y2)-a)2=a4x2
Ecuación polar:
Ecuaciones paramétricas:
Construcción
Es la única espiral que se puede construir con regla y compás.
Su construcción se realiza partiendo de un rectángulo áureo de lado mayor a y lado menor b=a/ .
Construimos un cuadrado de lado la medida del lado mayor del rectángulo y lo adosamos al lado mayor obteniéndose un nuevo rectángulo áureo de lado mayor a+b, en el cual volvemos a pegar un cuadrado y así continuamos la construcción de manera iterativa.
Uniendo dos vértices opuestos de los sucesivos cuadrados con un arco de circunferencia obtenemos la espiral deseada.
Ejemplo
En la siguiente figura al rectángulo áureo ABCD se le quita el mayor cuadrado posible ABFE el rectángulo sobrante EFCD también es áureo, repetimos la operación y a éste rectángulo le quitamos el mayor cuadrado posible EHGD el rectángulo restante HFCG es áureo y así sucesivamente.
Uniendo vértices de los cuadrados auxiliares con arcos de circunferencia, se forma la curva llama “Espiral de Durero”
