Diferencia entre revisiones de «Expresión algebraica»
(→Descomposición de un Polinomio en Factores) |
|||
| (No se muestran 19 ediciones intermedias de 5 usuarios) | |||
| Línea 6: | Línea 6: | ||
}} | }} | ||
| − | + | '''Expresión algebráica''' .Cadena de símbolos matemáticos que indican una cantidad finita de operaciones básicas entre funciones elementales, como [[Raíces|raíces]], [[Exponencial|exponenciales]], [[Logaritmo|logaritmos]], [[funciones trigonométricas|funciones trigonométricas]] y también composiciones de dichas funciones. <br> | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | '''Expresión | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
== Clasificación de las expresiones algebraicas == | == Clasificación de las expresiones algebraicas == | ||
| − | === Monomio | + | === Monomio === |
| − | + | Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las [[variables]] son el [[Multiplicación|producto]] y la [[potencia]] de exponente [[número natural|natural]]: 2x<sup>2</sup> y<sup>3</sup> z<br> | |
| − | Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural | + | Un binomio es una expresión algebraica formada por dos monomios. |
=== Trinomio === | === Trinomio === | ||
| Línea 29: | Línea 21: | ||
Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un monomio. | Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un monomio. | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
=== Partes de un monomio === | === Partes de un monomio === | ||
| − | *'' | + | * El '''coeficiente''' del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables. |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | *'' | + | * La '''parte literal''' está constituida por las letras y sus exponentes. |
| − | El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. El grado de 2x<sup>2</sup> y<sup>3</sup> z es: 2 + 3 + 1 = 6 | + | * El '''grado''' de un monomio es la [[suma]] de todos los exponentes de las letras o variables. El grado de 2x<sup>2</sup> y<sup>3</sup> z es: 2 + 3 + 1 = 6 |
| − | *Monomios semejantes | + | * Monomios semejantes: |
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. 2x<sup>2</sup> y<sup>3</sup> z es semejante a 5x<sup>2</sup> y<sup>3</sup> z | Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. 2x<sup>2</sup> y<sup>3</sup> z es semejante a 5x<sup>2</sup> y<sup>3</sup> z | ||
| Línea 54: | Línea 36: | ||
== Transformaciones de identidades == | == Transformaciones de identidades == | ||
| − | Se llama | + | Se llama identidad a la igualdad de dos expresiones algebraicas que es válida para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en ella; si la misma igualdad sólo es válida cuando se reemplazan algunos valores determinados, entonces se llama [[Ecuación|ecuación]].<br> |
Transformación de una identidad es la obtención de una expresión algebraica de otra, idénticamente igual a ella; la cual puede realizarse de diferentes maneras, según sea el fin de la transformación y esto siempre se debe tener en cuenta. | Transformación de una identidad es la obtención de una expresión algebraica de otra, idénticamente igual a ella; la cual puede realizarse de diferentes maneras, según sea el fin de la transformación y esto siempre se debe tener en cuenta. | ||
| − | Por ejemplo, el dar a la expresión una forma más reducida y más cómoda para el reemplazo de las letras por sus valores numéricos o para las transformaciones posteriores: reducción de la expresión a una forma más cómoda para la resolución de ecuaciones, el cálculo de logaritmos, diferenciación, integración, etc. | + | Por ejemplo, el dar a la expresión una forma más reducida y más cómoda para el reemplazo de las letras por sus valores numéricos o para las transformaciones posteriores: reducción de la expresión a una forma más cómoda para la resolución de ecuaciones, el cálculo de logaritmos, diferenciación, integración, etc. |
== Clasificación == | == Clasificación == | ||
| − | En cada uno de los casos se toman unas cantidades literales como básicas con respecto a las cuales se hace la clasificación; las cantidades no básicas (las letras restantes) se llaman | + | En cada uno de los casos se toman unas cantidades literales como básicas con respecto a las cuales se hace la clasificación; las cantidades no básicas (las letras restantes) se llaman parámetros de la expresión. |
| − | La expresión pertenece a una u | + | La expresión pertenece a una u otraclase según sean las operaciones que se efectúan con las cantidades básicas contenidas en ella. En las expresiones racionales enteras sólo se efectúan con las cantidades básicas las operaciones de [[Suma|sumar]], [[Resta|restar]] y [[Multiplicación|multiplicar]] (incluyendo en ésta, la elevación a potencia entera positiva]]. |
| − | En las expresiones | + | |
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | En las expresiones racionales fraccionarias se incluye (además de las operaciones consideradas) la [[División|división]] por cantidades básicas (o la elevación a potencia de exponente [[números negativos|negativo]]). | ||
| − | En las expresiones irracionales se agrega la extracción de raíz de cantidades básicas (elevación a potencia de exponente fraccionario); en las expresiones exponenciales, la elevación a una potencia que contiene cantidades básicas; en las [[ | + | En las expresiones irracionales se agrega la extracción de raíz de cantidades básicas (elevación a potencia de exponente fraccionario); en las expresiones exponenciales, la elevación a una potencia que contiene cantidades básicas; en las [[Logaritmo|logarítmicas]], el cálculo logarítmico de cantidades básicas<br> |
| − | En los ejemplos que se dan a continuación las cantidades básicas están designadas con las últimas letras del alfabeto (x, y, z, . . .) y los parámetros por las letras iniciales del mismo (a, b, c, . . .) o por las intermedias (m, n, p, . .), donde las letras intermedias toman sólo valores enteros positivos. <br> | + | En los ejemplos que se dan a continuación las cantidades básicas están designadas con las últimas letras del alfabeto (x, y, z, . . .) y los parámetros por las letras iniciales del mismo (a, b, c, . . .) o por las intermedias (m, n, p, . .), donde las letras intermedias toman sólo valores [[número entero|enteros]] positivos. <br> |
== Expresiones racionales enteras == | == Expresiones racionales enteras == | ||
| Línea 82: | Línea 68: | ||
(- a<sup>3</sup> + 2a<sup>2</sup>x - x<sup>3</sup>) (4a<sup>2</sup> + 8ax) + (a<sup>3</sup>x<sup>2</sup> + 2a<sup>2</sup>x<sup>3</sup> - 4ax<sup>4</sup>) - (a<sup>5</sup>+4a<sup>3</sup>x<sup>2</sup> - 4ax<sup>4</sup>) = - 4a<sup>5</sup>+8a<sup>4</sup>x - 4a<sup>2</sup>x<sup>3</sup> - 8a<sup>4</sup>x + l6a<sup>3</sup>x<sup>2</sup> - 8ax<sup>4</sup>+ <br>+ a<sup>3</sup>x<sup>2</sup> + 2a<sup>2</sup>x<sup>3 </sup>- 4ax<sup>4</sup> - a<sup>5</sup> - 4a<sup>3</sup>x<sup>2</sup> + 4ax<sup>4</sup> = = - 5a<sup>5</sup> + 13a<sup>3</sup>x<sup>2</sup> - 2a<sup>2</sup>x<sup>3</sup> - 8ax<sup>4</sup>. | (- a<sup>3</sup> + 2a<sup>2</sup>x - x<sup>3</sup>) (4a<sup>2</sup> + 8ax) + (a<sup>3</sup>x<sup>2</sup> + 2a<sup>2</sup>x<sup>3</sup> - 4ax<sup>4</sup>) - (a<sup>5</sup>+4a<sup>3</sup>x<sup>2</sup> - 4ax<sup>4</sup>) = - 4a<sup>5</sup>+8a<sup>4</sup>x - 4a<sup>2</sup>x<sup>3</sup> - 8a<sup>4</sup>x + l6a<sup>3</sup>x<sup>2</sup> - 8ax<sup>4</sup>+ <br>+ a<sup>3</sup>x<sup>2</sup> + 2a<sup>2</sup>x<sup>3 </sup>- 4ax<sup>4</sup> - a<sup>5</sup> - 4a<sup>3</sup>x<sup>2</sup> + 4ax<sup>4</sup> = = - 5a<sup>5</sup> + 13a<sup>3</sup>x<sup>2</sup> - 2a<sup>2</sup>x<sup>3</sup> - 8ax<sup>4</sup>. | ||
| − | === Descomposición de un Polinomio en Factores | + | === Descomposición de un Polinomio en Factores === |
| − | + | En muchos casos un polinomio se puede expresar como un producto de factores (de monomios y polinomios), ya sea sacando factor común, o mediante la agrupación, la aplicación de fórmulas de [[multiplicación]] y [[división]] abreviadas o la aplicación de las propiedades de la ecuación. | |
| − | En muchos casos un polinomio se puede expresar como un producto de factores (de | ||
Ejemplos: | Ejemplos: | ||
| Línea 90: | Línea 75: | ||
1) Extraer factor común: | 1) Extraer factor común: | ||
| − | 8ax<sup>2</sup>y - 6bx<sup>3</sup>y<sup>2</sup> + 4cx<sup>5</sup> = 2x<sup>2</sup><sub><sup></sup></sub>(4ay - 3bxy<sup>2</sup> + 2cx<sup>3</sup>). | + | 8ax<sup>2</sup>y - 6bx<sup>3</sup>y<sup>2</sup> + 4cx<sup>5</sup> = 2x<sup>2</sup><sub><sup></sup></sub>(4ay - 3bxy<sup>2</sup> + 2cx<sup>3</sup>). |
| − | |||
| − | |||
== Fuentes<br> == | == Fuentes<br> == | ||
| − | * | + | *I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de [[Matemática]]. [[Editorial MIR]]. [[Moscú|Moscú]].[[1971|1971]] |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | [[Category:Álgebra]][[Category:Matemáticas]] | |
última versión al 12:05 7 sep 2012
| ||||||
Expresión algebráica .Cadena de símbolos matemáticos que indican una cantidad finita de operaciones básicas entre funciones elementales, como raíces, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y también composiciones de dichas funciones.
Sumario
Clasificación de las expresiones algebraicas
Monomio
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural: 2x2 y3 z
Un binomio es una expresión algebraica formada por dos monomios.
Trinomio
Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres monomios.
Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un monomio.
Partes de un monomio
- El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.
- La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.
- El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6
- Monomios semejantes:
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. 2x2 y3 z es semejante a 5x2 y3 z
Transformaciones de identidades
Se llama identidad a la igualdad de dos expresiones algebraicas que es válida para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en ella; si la misma igualdad sólo es válida cuando se reemplazan algunos valores determinados, entonces se llama ecuación.
Transformación de una identidad es la obtención de una expresión algebraica de otra, idénticamente igual a ella; la cual puede realizarse de diferentes maneras, según sea el fin de la transformación y esto siempre se debe tener en cuenta.
Por ejemplo, el dar a la expresión una forma más reducida y más cómoda para el reemplazo de las letras por sus valores numéricos o para las transformaciones posteriores: reducción de la expresión a una forma más cómoda para la resolución de ecuaciones, el cálculo de logaritmos, diferenciación, integración, etc.
Clasificación
En cada uno de los casos se toman unas cantidades literales como básicas con respecto a las cuales se hace la clasificación; las cantidades no básicas (las letras restantes) se llaman parámetros de la expresión.
La expresión pertenece a una u otraclase según sean las operaciones que se efectúan con las cantidades básicas contenidas en ella. En las expresiones racionales enteras sólo se efectúan con las cantidades básicas las operaciones de sumar, restar y multiplicar (incluyendo en ésta, la elevación a potencia entera positiva]].
En las expresiones racionales fraccionarias se incluye (además de las operaciones consideradas) la división por cantidades básicas (o la elevación a potencia de exponente negativo).
En las expresiones irracionales se agrega la extracción de raíz de cantidades básicas (elevación a potencia de exponente fraccionario); en las expresiones exponenciales, la elevación a una potencia que contiene cantidades básicas; en las logarítmicas, el cálculo logarítmico de cantidades básicas
En los ejemplos que se dan a continuación las cantidades básicas están designadas con las últimas letras del alfabeto (x, y, z, . . .) y los parámetros por las letras iniciales del mismo (a, b, c, . . .) o por las intermedias (m, n, p, . .), donde las letras intermedias toman sólo valores enteros positivos.
Expresiones racionales enteras
Expresión en forma de polinomio
Toda función racional entera se puede expresar en forma de polinomio mediante transformaciones elementales (reducción de términos semejantes, suma, resta y multiplicación de monomios y polinomios).
Ejemplo:
(- a3 + 2a2x - x3) (4a2 + 8ax) + (a3x2 + 2a2x3 - 4ax4) - (a5+4a3x2 - 4ax4) = - 4a5+8a4x - 4a2x3 - 8a4x + l6a3x2 - 8ax4+
+ a3x2 + 2a2x3 - 4ax4 - a5 - 4a3x2 + 4ax4 = = - 5a5 + 13a3x2 - 2a2x3 - 8ax4.
Descomposición de un Polinomio en Factores
En muchos casos un polinomio se puede expresar como un producto de factores (de monomios y polinomios), ya sea sacando factor común, o mediante la agrupación, la aplicación de fórmulas de multiplicación y división abreviadas o la aplicación de las propiedades de la ecuación.
Ejemplos:
1) Extraer factor común:
8ax2y - 6bx3y2 + 4cx5 = 2x2(4ay - 3bxy2 + 2cx3).
Fuentes
- I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de Matemática. Editorial MIR. Moscú.1971
