Expresión algebraica

Expresión Algebraica

TRANSFORMACIONES DE IDENTIDADES

Conceptos fundamentales

DEFINICIONES. Se llama expresión algebraica a una o varias cantidades algebraicas (números o letras) que están unidas entre si por los signos de las operaciones algebraicas (+ , —, :, /, etc.) y por los signos del orden de sucesión de estas operaciones (diferentes tipos de paréntesis). Se llama identidad a la igualdad de dos expresiones algebraicas que es válida para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en ella; si la misma igualdad sólo es válida cuando se reemplazan algunos valores determinados, entonces se llama ecuación.

Transformación de una identidad es la obtención de una expresión algebraica de otra, idénticamente igual a ella; la cual puede realizarse de diferentes maneras, según sea el fin de la transformación y esto siempre se debe tener en cuenta. Por ejemplo, el dar a la expresión una forma más reducida y más cómoda para el reemplazo de las letras por sus valores numéricos o para las transformaciones posteriores: reducción de la expresión a una forma más cómoda para la resolución de ecuaciones, el cálculo de logaritmos, diferenciación, integración, etc.

Clasificación de las expresiones AlgebraicasAS.

En cada uno de los casos se toman unas cantidades literales como básicas con respecto a las cuales se hace la clasificación; las cantidades no básicas (las letras restantes) se llaman parámetros de la expresión. La expresión pertenece a una u otra clase según sean las operaciones que se efectúan con las cantidades básicas contenidas en ella. En las expresiones racionales enteras sólo se efectúan con las cantidades básicas las operaciones de sumar, restar y multiplicar (incluyendo en ésta, la elevación a potencia entera positiva); en las expresionesracionales fraccionarias se incluye (además de las operaciones consideradas) la división por cantidades básicas (o la elevación a potencia de exponente negativo); en las expresiones irracionales se agrega la extracción de raíz de cantidades básicas (elevación a potencia de exponente fraccionario); en las expresiones exponenciales, la elevación a una potencia que contiene cantidades básicas; en las logarítmicas, el cálculo logarítmico de cantidades básicas

En los ejemplos que se dan a continuación las cantidades básicas están designadas con las últimas letras del alfabeto (x, y, z, . . .) y los parámetros por las letras iniciales del mismo (a, b, c, . . .) o por las intermedias (m, n, p, . .), donde las letras intermedias toman sólo valores enteros positivos.

EXPRESIONES RACIONALES ENTERAS

Expresión en forma de polinomio.

Toda función racional entera se puede expresar en forma de polinomio mediante transformaciones elementales (reducción de términos semejantes, suma, resta y multiplicación de monomios y polinomios).

Ejemplo:

(- a³ + 2a²x - x³) (4a² + 8ax) + (a³x² + 2a²x³ - 4ax⁴) - (a⁵+4a³x² - 4ax⁴) = - 4a⁵+8a⁴x - 4a²x³ - 8a⁴x + l6a³x² - 8ax⁴+
+ a³x² + 2a²x³ - 4ax⁴ - a⁵ - 4a³x² + 4ax⁴ = = - 5a⁵ + 13a³x² - 2a²x³ - 8ax⁴.

Descomposición deun Polinomio en Factores.

En muchos casos un polinomio se puede expresar como un producto de factores (de monomios y polinomios), ya sea sacando factor común, o mediante la agrupación, la aplicación de fórmulas de multiplicación y división abreviadas o la aplicación de las propiedades de la ecuación.

Ejemplos:

1) Extraer factor común:

8ax²y - 6bx³y² + 4cx⁵ = 2x²⁽4ay — 3bxy² + 2cx³).

Fuentes

• I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de Matemática. Editorial. MIR. Moscú.1971