Expresión algebraica

Expresión Algebraica Concepto: Se llama expresión algebraica a toda constante, variable o bien a toda combinación de constantes y potencias de variables que estén ligadas por alguno de los símbolos (+, -, * y / ) en un número finito.

Resumen introductorio

Expresión algebraica

Antes veamos lo que es una expresión aritmética. Una expresión aritmética es una cadena de símbolos (números y signos de operación), que indican una cantidad finita de operaciones básicas entre dichos números. Las operaciones básicas son la suma, resta, multiplicación y división.

Una expresión algebráica es una cadena de símbolos matemáticos que indican una cantidad finita de operaciones básicas entre funciones elementales, como raíces, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y también composiciones de dichas funciones. Suena muy revuelto pero como ejemplo veamos las siguientes tres expresiones:

Se llama así a una o varias cantidades algebraicas (números o letras) que están unidas entre si por los signos de las operaciones algebraicas (+ , —,:, /, etc.) y por los signos del orden de sucesión de estas operaciones (diferentes tipos de paréntesis).

Transformaciones de identidades

Se llama identidad a la igualdad de dos expresiones algebraicas que es válida para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en ella; si la misma igualdad sólo es válida cuando se reemplazan algunos valores determinados, entonces se llama ecuación.

Transformación de una identidad es la obtención de una expresión algebraica de otra, idénticamente igual a ella; la cual puede realizarse de diferentes maneras, según sea el fin de la transformación y esto siempre se debe tener en cuenta.

Por ejemplo, el dar a la expresión una forma más reducida y más cómoda para el reemplazo de las letras por sus valores numéricos o para las transformaciones posteriores: reducción de la expresión a una forma más cómoda para la resolución de ecuaciones, el cálculo de logaritmos, diferenciación, integración, etc.

Clasificación

En cada uno de los casos se toman unas cantidades literales como básicas con respecto a las cuales se hace la clasificación; las cantidades no básicas (las letras restantes) se llaman parámetros de la expresión.

La expresión pertenece a una u otra clase según sean las operaciones que se efectúan con las cantidades básicas contenidas en ella. En las expresiones racionales enteras sólo se efectúan con las cantidades básicas las operaciones de sumar, restar y multiplicar (incluyendo en ésta, la elevación a potencia entera positiva.

En las expresionesracionales fraccionarias se incluye (además de las operaciones consideradas) la división por cantidades básicas (o la elevación a potencia de exponente negativo).

En las expresiones irracionales se agrega la extracción de raíz de cantidades básicas (elevación a potencia de exponente fraccionario); en las expresiones exponenciales, la elevación a una potencia que contiene cantidades básicas; en las logarítmicas, el cálculo logarítmico de cantidades básicas

En los ejemplos que se dan a continuación las cantidades básicas están designadas con las últimas letras del alfabeto (x, y, z, . . .) y los parámetros por las letras iniciales del mismo (a, b, c, . . .) o por las intermedias (m, n, p, . .), donde las letras intermedias toman sólo valores enteros positivos.

Expresiones racionales enteras

Expresión en forma de polinomio

Toda función racional entera se puede expresar en forma de polinomio mediante transformaciones elementales (reducción de términos semejantes, suma, resta y multiplicación de monomios y polinomios).

Ejemplo:

(- a³ + 2a²x - x³) (4a² + 8ax) + (a³x² + 2a²x³ - 4ax⁴) - (a⁵+4a³x² - 4ax⁴) = - 4a⁵+8a⁴x - 4a²x³ - 8a⁴x + l6a³x² - 8ax⁴+
+ a³x² + 2a²x³ - 4ax⁴ - a⁵ - 4a³x² + 4ax⁴ = = - 5a⁵ + 13a³x² - 2a²x³ - 8ax⁴.

Descomposición de un Polinomio en Factores

En muchos casos un polinomio se puede expresar como un producto de factores (de monomios y polinomios), ya sea sacando factor común, o mediante la agrupación, la aplicación de fórmulas de multiplicación y división abreviadas o la aplicación de las propiedades de la ecuación.

Ejemplos:

1) Extraer factor común:

8ax²y - 6bx³y² + 4cx⁵ = 2x²(4ay - 3bxy² + 2cx³).

Fuentes

• I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de Matemática. Editorial. MIR. Moscú.1971