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Ley de los cosenos

Ley de los cosenos. Si se proporcionaran los tres lados (LLL) o dos lados y su angulo comprendido (LAL), ninguna de las razones en la ley de los senos estaría completa en la resolución de triángulos [1]. En tales situaciones, acude necesaria la ley de los cosenos. Cuya fómmula va a ser obtenida usando el Teorema de la proyección y operaciones algebraicas entre las ecuaciones trigonométricas,

Sea ΔABC, un triángulo oblicuángulo, de lados a,b y c; la Ley de los cosenos vincula el cuadrado de un lado de un triángulo con la suma de los cuadrados de los otros dos lados , menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido por ellos [2].

Fórmula

c2 = a2 + b2 -2ab cos C

Demostración

Por la proposición de la proyección, se tiene
  1. c= a cos B + b cos A, multiplicando por c sale
  2. c2 = accos B + bc cos A, consideración similar para los lados a y b
  3. a2 = accos B + ab cos C (I)
  4. b2 = bccos A + ab cos C (II), sumando (I) y (II)
  5. a2 + b2 = accos B + ab cos C + bccos A + ab cos C = (accos B +bccos A ) + ( ab cos C +ab cos C ), el primer paréntesis c2
  6. a2 + b2 = c2 + 2ab cos C
  7. c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

Aplicaciones

  • Se utiliza en la resolución de triángulos; en los casos de los triángulos oblicuángulos, casos LLL o LAL.
  • Modelar y emplear la ley de los cosenos en la práctica social del trabajo tecnológico o científico.
  • Como en su formulación, se usa la función coseno y la proposición de la proyección, es independiente del teorema de Pitágoras; por este hecho puede servir para una demostración del aludido teorema, usando el hecho de que el ángulo C se acerque a 90º, y el ΔABC se transforma en triángulo rectángulo.
  • En el deporte, la Ley de los cosenos se puede emplear para aproximar qué tan lejos puede correr un jugador de beisbol para realizar una atrapada [3].

Referencias

Fuentes

  • Trigonometría plana y esférica de Granvile/ Smith / Mikesh
  • Trigonometría de Larson
  • Trigonometría de Editorial Lumbreras, Lima