Mecánica analítica
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Mecánica analítica. Describe el estado de un sistema a través de coordenadas generalizadas. Al analizar un problema el primer paso es identificar las coordenadas generalizadas más adecuadas y el número mínimo necesario para describir el sistema: el número de grados de libertad.
Sumario
Descripción
Analítica en el sentido Matemática|matemático de la palabra y no filosófico. Sus métodos son poderosos y trascienden de la Mecánica a otros campos de la física. Se puede encontrar el germen de la mecánica analítica en la obra de Leibniz que propone para solucionar los problemas mecánicos otras magnitudes básicas (menos oscuras según Leibniz que la fuerza y el momento de Newton), pero ahora escalares, que son: la energía cinética y el trabajo.
Estas magnitudes están relacionadas de forma diferencial. La característica esencial es que, en la formulación, se toman como fundamentos primeros principios generales (diferenciales e integrales), y que a partir de estos principios se obtengan analíticamente las ecuaciones de movimiento.
Partes de la mecánica analítica
La mecánica analítica se divide en tres partes:
La Mecánica de Cuerpos Rígidos.
La Mecánica de Cuerpos Deformables.
La Mecánica de Fluidos.
Tipos de formulaciones
La mecánica analítica tiene dos formulaciones: la formulación lagrangiana y la formulación hamiltoniana. Las dos llegan básicamente a los mismos resultados físicos, aunque la elección del enfoque puede depender del tipo de problema.
Formulación Lagrangiana
La formulación lagrangiana tiene la ventaja de ser suficientemente general como para que las ecuaciones de movimiento sean invariantes respecto a cualquier cambio de coordenadas. Eso permite trabajar con sistemas de referencia inerciales o no-inerciales en pie de igualdad.
Para un sistema de n grados de libertad, la mecánica lagrangiana proporciona un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, llamadas ecuaciones del movimiento que permiten conocer cómo evolucionará el sistema. La forma explícita de las ecuaciones tiene la forma:
En mecánica lagrangiana existe un modo muy elegante de buscar integrales de movimiento a partir del teorema de Noether. De acuerdo con este teorema cuando un lagrangiano es invariante bajo un grupo de simetría uniparamétrico entonces cualquier generador del álgebra de Lie asociada a ese grupo uniparmétrico es proporcional a una magnitud conservada:
La mecánica lagrangiana puede generalizarse de forma muy abstracta e incluso ser usada en problemas fuera de la física (como en el problema de determinar las geodésicas de una variedad de Riemann). En esa forma abstracta la mecánica lagrangina se construye como un sistema dinámico sobre el fibrado tangente de cierto espacio de configuración aplicándose diversos teoremas y temas de la geometría diferencial.
Formulación Hamiltoniana
La Formulación Hamiltoniana de la Mecánica tiene como referente a la anterior Formulación Lagrangiana. Hamilton consideró como variables independientes no solamente las coordenadas generalizadas, sino también los momentos o ímpetus asociados, definiendo lo que llamó el Espacio de la Fases.
La función principal de Hamilton, o hamiltoniana, tiene una forma relacionada con la función principal de Lagrange, suma de los productos de cada ímpetu por la velocidad menos la función lagrangiana, pudiendo, con ella obtener unas ecuaciones de evolución de los sistemas mecánicos mucho más potentes que las ecuaciones de Lagrange.
Es una función escalar a partir de la cual pueden obtenerse las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico clásico que se emplea en el enfoque hamiltoniano de la mecánica clásica.
Tipos de enfoques
Enfoque analítico que, en cierto modo, es heredero de la mecánica analítica de Joseph-Louis de Lagrange, de 1788, y la igualmente elegante formulación de William Rowan Hamilton, de 1833. Estas dos formulaciones en última instancia se basan en el principio diferencial introducido por D'Alembert en 1743. En este enfoque se presentan en detalle aplicaciones astronómicas y las leyes básicas de la física. En este enfoque la fuerza casi siempre es una fuerza conservativa y muchas veces también central. Por esa última razón, los principios conservativos están generalmente muy enfatizados en este enfoque.
Enfoque general de los sistemas dinámicos general es el enfoque más reciente surgido de los trabajos de Henri Poincaré y Aleksandr Liapunov, en la última década del siglo XIX, y del libro Dynamical Systems (1927), de G. D. Birhoff. En los manuales más sencillos, este enfoque está poco representado, aunque es muy común en los trabajos de investigación. Este enfoque está actualmente muy relacionado con la teoría del caos y con propiedades complejas de los sistemas mecánicos más complicados.
Fuentes
https://confabulario.eluniversal.com.mx/lagrange-y-la-mecanica-analitica/
http://laplace.us.es/wiki/index.php/Introducci%C3%B3n_a_la_mec%C3%A1nica_anal%C3%ADtica_(MR)
