Diferencia entre revisiones de «Razones y proporciones»
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| − | ''' Razones y | + | ''' Razones y proporciones:’’’ Cuando comparemos dos [[Números|números]] mediante una [[División|división]] diremos que esos dos números se encuentran en una razón; y si igualamos dos razones estamos en precedencia de una proporción. |
| − | ==Razón entre números== | + | ==Razón entre números== |
Al realizar una encuesta entre los jóvenes entre 18 y 21 años se concluye que: "1 de cada 5 jóvenes está inscrito en el Registro Electoral". Entonces, podemos decir que la razón entre los que votan y el total de jóvenes es 1 : 5. También podemos decir que la razón entre los que votan y los que no, es 1 : 4. | Al realizar una encuesta entre los jóvenes entre 18 y 21 años se concluye que: "1 de cada 5 jóvenes está inscrito en el Registro Electoral". Entonces, podemos decir que la razón entre los que votan y el total de jóvenes es 1 : 5. También podemos decir que la razón entre los que votan y los que no, es 1 : 4. | ||
| − | + | Sean a y b dos números racionales y b ‡ 0, entonces una razón entre a y b es el cociente a : b = a/b y lo leeremos a es a b. | |
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Como las razones son números racionales, entonces podemos ampliarla y simplificarla como nosotros queramos mientras se mantenga la razón. | Como las razones son números racionales, entonces podemos ampliarla y simplificarla como nosotros queramos mientras se mantenga la razón. | ||
[[Image:Raz Ej 1.JPG]] | [[Image:Raz Ej 1.JPG]] | ||
==Proporciones== | ==Proporciones== | ||
| − | La igualdad entre dos razones es una proporción. | + | La igualdad entre dos razones es una proporción.[[Image:Proporcion.JPG]] |
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Se lee: | Se lee: | ||
*a es a b como c es a d. | *a es a b como c es a d. | ||
*También puede escribirse a : b = c : d | *También puede escribirse a : b = c : d | ||
| − | *En toda proporción se tiene | + | *En toda proporción se tiene: |
| − | [[Image:Proporcion.JPG]] | + | |
| − | En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios, es decir. | + | [[Image:Proporcion.JPG]]En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios, es decir. |
a. d = b . c | a. d = b . c | ||
==Proporcionalidad Directa== | ==Proporcionalidad Directa== | ||
Supongamos que vamos por la carretera en un automóvil hacia una ciudad A, a una velocidad de 120 km/h. Podemos reconocer 2 variables asociadas a esto: la distancia y el tiempo. Como sabemos, mientras más tiempo haya transcurrido, más distancia habremos recorrido, es decir, a medida que aumenta el tiempo, aumenta la distancia. De la misma manera, el tiempo que falta para llegar disminuye a medida que disminuye la distancia entre nosotros y la ciudad A. | Supongamos que vamos por la carretera en un automóvil hacia una ciudad A, a una velocidad de 120 km/h. Podemos reconocer 2 variables asociadas a esto: la distancia y el tiempo. Como sabemos, mientras más tiempo haya transcurrido, más distancia habremos recorrido, es decir, a medida que aumenta el tiempo, aumenta la distancia. De la misma manera, el tiempo que falta para llegar disminuye a medida que disminuye la distancia entre nosotros y la ciudad A. | ||
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Esta relación se conoce como proporcionalidad directa, si una [[Variables|variable]] aumenta (disminuye), entonces la otra variable también aumenta (disminuye) en la misma proporción | Esta relación se conoce como proporcionalidad directa, si una [[Variables|variable]] aumenta (disminuye), entonces la otra variable también aumenta (disminuye) en la misma proporción | ||
La clave de una proporcionalidad directa, es que la razón entre ambas variables se mantenga constante. Este valor que se mantiene igual, independiente de como cambien las variables, se conoce como constante de proporcionalidad. En el ejemplo del viaje, la constante es igual a 120. | La clave de una proporcionalidad directa, es que la razón entre ambas variables se mantenga constante. Este valor que se mantiene igual, independiente de como cambien las variables, se conoce como constante de proporcionalidad. En el ejemplo del viaje, la constante es igual a 120. | ||
| − | Para analizar la dicha proporcionalidad se lleva a una tabla las correspondientes variables, si en la medida que aumenta (disminuye) una variable la otra aumenta (disminuye) estamos en presencia de una proporcionalidad directa. | + | |
| − | En el ejemplo anterior, las variables distancia recorrida y el tiempo recorrido lo llevamos a una tabla y observamos que en la medida que aumenta la distancia recorrida aumenta el tiempo. | + | Para analizar la dicha proporcionalidad se lleva a una tabla las correspondientes variables, si en la medida que aumenta (disminuye) una variable la otra aumenta (disminuye) estamos en presencia de una proporcionalidad directa. |
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| + | En el ejemplo anterior, las variables distancia recorrida y el tiempo recorrido lo llevamos a una tabla y observamos que en la medida que aumenta la distancia recorrida aumenta el tiempo. | ||
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[[Image:Tabla p directa.JPG]] | [[Image:Tabla p directa.JPG]] | ||
El gráfico que representa a una proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el origen. | El gráfico que representa a una proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el origen. | ||
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[[Image:Prop directa.JPG]] | [[Image:Prop directa.JPG]] | ||
==Proporcionalidad Inversa== | ==Proporcionalidad Inversa== | ||
| − | + | Supongamos que queremos pintar una casa y para ello contratamos 2 obreros. Ellos estiman que podrán pintar la casa completamente en 6 días. | |
| − | Supongamos que queremos pintar una casa y para ello contratamos 2 obreros. Ellos estiman que podrán pintar la casa completamente en 6 días. | + | |
Como el tiempo no nos pareció adecuado, entonces decidimos contratar 2 obreros más (4 en total) y estiman que podrán pintar la casa en 3 días. | Como el tiempo no nos pareció adecuado, entonces decidimos contratar 2 obreros más (4 en total) y estiman que podrán pintar la casa en 3 días. | ||
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Y como aún no nos parece suficiente, contratamos otros 2 obreros (6 en total) que estiman, podrán pintar toda la casa en 2 días lo cual nos parece bien. Podemos reconocer 2 variables asociadas a esto: los obreros y el tiempo. Claramente, mientras más obreros contratemos, menos tiempo demoraran. | Y como aún no nos parece suficiente, contratamos otros 2 obreros (6 en total) que estiman, podrán pintar toda la casa en 2 días lo cual nos parece bien. Podemos reconocer 2 variables asociadas a esto: los obreros y el tiempo. Claramente, mientras más obreros contratemos, menos tiempo demoraran. | ||
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Esta relación se conoce como proporcionalidad inversa, si una [[Variable|variable]] aumenta (disminuye), entonces la otra variable disminuye (aumenta) en la misma proporción. | Esta relación se conoce como proporcionalidad inversa, si una [[Variable|variable]] aumenta (disminuye), entonces la otra variable disminuye (aumenta) en la misma proporción. | ||
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| − | + | La clave de una proporcionalidad inversa, es que el producto entre ambas variables se mantenga constante. En el ejemplo de la casa, la constante es igual a 12. | |
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| + | De manera similar para analizar este tipo de proporcionalidad se lleva a una tabla las correspondientes variables, si en la medida que aumenta (disminuye) una variable la otra disminuye (aumenta) estamos en presencia de una proporcionalidad inversa. | ||
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En el ejemplo anterior, las variables obreros contratados y el tiempo que demoraran lo llevamos a una tabla y observamos que en la medida que aumenta la cantidad de obreros contratados disminuye el tiempo que demoraran. | En el ejemplo anterior, las variables obreros contratados y el tiempo que demoraran lo llevamos a una tabla y observamos que en la medida que aumenta la cantidad de obreros contratados disminuye el tiempo que demoraran. | ||
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[[Image:Tabla p inversa.JPG]] | [[Image:Tabla p inversa.JPG]] | ||
| − | El gráfico que representa a una proporcionalidad inversa es una [[Hipérbola|hipérbola]] | + | El gráfico que representa a una proporcionalidad inversa es una [[Hipérbola|hipérbola]] |
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[[Image:Prop inversa.JPG]] | [[Image:Prop inversa.JPG]] | ||
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En resumen, si x e y son dos variables que se encuentran en | En resumen, si x e y son dos variables que se encuentran en | ||
*Proporcionalidad Directa, entonces se cumple que | *Proporcionalidad Directa, entonces se cumple que | ||
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donde k es la constante de proporcionalidad respectiva. | donde k es la constante de proporcionalidad respectiva. | ||
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==Fuentes== | ==Fuentes== | ||
*Libro de texto. Matemática 6to grado | *Libro de texto. Matemática 6to grado | ||
*Libro de texto. Matemática 9no grado | *Libro de texto. Matemática 9no grado | ||
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==Véase también== | ==Véase también== | ||
*[[Razones entre segmentos]] | *[[Razones entre segmentos]] | ||
*[[Funciones lineales]] | *[[Funciones lineales]] | ||
[[Category:Teoría_elemental_de_los_números]] | [[Category:Teoría_elemental_de_los_números]] | ||
Revisión del 13:37 5 jul 2011
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Razones y proporciones:’’’ Cuando comparemos dos números mediante una división diremos que esos dos números se encuentran en una razón; y si igualamos dos razones estamos en precedencia de una proporción.
Sumario
Razón entre números
Al realizar una encuesta entre los jóvenes entre 18 y 21 años se concluye que: "1 de cada 5 jóvenes está inscrito en el Registro Electoral". Entonces, podemos decir que la razón entre los que votan y el total de jóvenes es 1 : 5. También podemos decir que la razón entre los que votan y los que no, es 1 : 4. Sean a y b dos números racionales y b ‡ 0, entonces una razón entre a y b es el cociente a : b = a/b y lo leeremos a es a b.
Como las razones son números racionales, entonces podemos ampliarla y simplificarla como nosotros queramos mientras se mantenga la razón.
Proporciones
La igualdad entre dos razones es una proporción.Archivo:Proporcion.JPG Se lee:
- a es a b como c es a d.
- También puede escribirse a : b = c : d
- En toda proporción se tiene:
Archivo:Proporcion.JPGEn toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios, es decir. a. d = b . c
Proporcionalidad Directa
Supongamos que vamos por la carretera en un automóvil hacia una ciudad A, a una velocidad de 120 km/h. Podemos reconocer 2 variables asociadas a esto: la distancia y el tiempo. Como sabemos, mientras más tiempo haya transcurrido, más distancia habremos recorrido, es decir, a medida que aumenta el tiempo, aumenta la distancia. De la misma manera, el tiempo que falta para llegar disminuye a medida que disminuye la distancia entre nosotros y la ciudad A.
Esta relación se conoce como proporcionalidad directa, si una variable aumenta (disminuye), entonces la otra variable también aumenta (disminuye) en la misma proporción La clave de una proporcionalidad directa, es que la razón entre ambas variables se mantenga constante. Este valor que se mantiene igual, independiente de como cambien las variables, se conoce como constante de proporcionalidad. En el ejemplo del viaje, la constante es igual a 120.
Para analizar la dicha proporcionalidad se lleva a una tabla las correspondientes variables, si en la medida que aumenta (disminuye) una variable la otra aumenta (disminuye) estamos en presencia de una proporcionalidad directa.
En el ejemplo anterior, las variables distancia recorrida y el tiempo recorrido lo llevamos a una tabla y observamos que en la medida que aumenta la distancia recorrida aumenta el tiempo.
Archivo:Tabla p directa.JPG El gráfico que representa a una proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el origen.
Proporcionalidad Inversa
Supongamos que queremos pintar una casa y para ello contratamos 2 obreros. Ellos estiman que podrán pintar la casa completamente en 6 días.
Como el tiempo no nos pareció adecuado, entonces decidimos contratar 2 obreros más (4 en total) y estiman que podrán pintar la casa en 3 días.
Y como aún no nos parece suficiente, contratamos otros 2 obreros (6 en total) que estiman, podrán pintar toda la casa en 2 días lo cual nos parece bien. Podemos reconocer 2 variables asociadas a esto: los obreros y el tiempo. Claramente, mientras más obreros contratemos, menos tiempo demoraran.
Esta relación se conoce como proporcionalidad inversa, si una variable aumenta (disminuye), entonces la otra variable disminuye (aumenta) en la misma proporción.
La clave de una proporcionalidad inversa, es que el producto entre ambas variables se mantenga constante. En el ejemplo de la casa, la constante es igual a 12.
De manera similar para analizar este tipo de proporcionalidad se lleva a una tabla las correspondientes variables, si en la medida que aumenta (disminuye) una variable la otra disminuye (aumenta) estamos en presencia de una proporcionalidad inversa.
En el ejemplo anterior, las variables obreros contratados y el tiempo que demoraran lo llevamos a una tabla y observamos que en la medida que aumenta la cantidad de obreros contratados disminuye el tiempo que demoraran.
El gráfico que representa a una proporcionalidad inversa es una hipérbola
En resumen, si x e y son dos variables que se encuentran en
- Proporcionalidad Directa, entonces se cumple que
Archivo:Relacion prop directa.JPG
- Proporcionalidad Inversa, entonces se cumple que
Archivo:Relacion prop inversa.JPG donde k es la constante de proporcionalidad respectiva.
Fuentes
- Libro de texto. Matemática 6to grado
- Libro de texto. Matemática 9no grado
