Razones y proporciones
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Razones y proporciones: Cuando son comparados dos números mediante una división diremos que esos dos números se encuentran en una razón; y si igualamos dos razones estamos en presencia de una proporción.
Sumario
Razón entre números
Al realizar una encuesta entre los jóvenes entre 18 y 21 años se concluye que: "1 de cada 5 jóvenes está inscrito en el Registro Electoral". Entonces, se puede decir que la razón entre los que votan y el total de jóvenes es 1: 5. También se puede decir que la razón entre los que votan y los que no, es 1: 4.
Sean a y b dos números racionales y b ‡ 0, entonces una razón entre a y b es el cociente a: b = a/b y lo leeremos a es a b.
Como las razones son números racionales, entonces se puede ampliarla y simplificarla como se desee mientras se mantenga la razón.
Una de las situaciones matemáticas más frecuente es sin duda, la de relacionar dos cantidades: se han hecho al sumarlas y restarlas, o al multiplicarlas y dividirlas. En particular, al relacionarlas mediante la resta y la división, estamos comparándolas. Existen dos tipos de comparaciones entre números: las que nos permiten averiguar cuál es el mayor calculando la diferencia existente entre ambos, o bien, calculando cuántas veces el mayor contiene al menor. En la primera situación hablamos de comparaciones o relaciones aditivas y en la segunda, de relaciones multiplicativas.
El concepto matemático de razón
Una razón es una relación multiplicativa entre dos números naturales diferentes de 0.
Hablamos así de la razón “dos a tres”,“1 a 10”, “7 a 4”, etc. Por ejemplo, si en un grupo de personas hay 18 hombres y 27 mujeres, diremos que la razón entre el número de hombres y el de mujeres es de “2 a 3”, es decir, que “hay 2 hombres por cada 3 mujeres”. En este caso, la razón entre el número de mujeres y el de hombres es la inversa, de “3 a 2”, es decir, que “hay 3 mujeres por cada 2 hombres”. Hay que saber distinguir entre los conceptos de razón y de fracción. Este último alude a la relación también multiplicativa entre la parte y el todo respectivo. En el ejemplo anterior, 2/5 representa la fracción ya simplificada correspondiente al número de hombres (18) con respecto al total de personas presentes (18 + 27 = 45). En el concepto de razón no está presente esta relación de carácter parte-todo.
Proporciones
La igualdad entre dos razones es una proporción.
Se lee:
- a es a b como c es a d.
- También puede escribirse a: b = c: d
- En toda proporción se tiene:
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios, esta relación se conoce como Teorema fundamental de la proporción, es decir.
Proporcionalidad Directa
Supongamos que vamos por la carretera en un automóvil hacia una ciudad A, a una velocidad de 120 Km./h. Se puede reconocer 2 variables asociadas a esto: la distancia y el tiempo. Mientras más tiempo haya transcurrido, más distancia habremos recorrido, es decir, a medida que aumenta el tiempo, aumenta la distancia. De la misma manera, el tiempo que falta para llegar disminuye a medida que disminuye la distancia entre nosotros y la ciudad A.
Esta relación se conoce como proporcionalidad directa, si una variable aumenta o disminuye, entonces la otra variable también aumentará o disminuirá en la misma proporción.
La clave de una proporcionalidad directa, es que la razón entre ambas variables se mantenga constante. Este valor que se mantiene igual, independiente de como cambien las variables, se conoce como constante de proporcionalidad. En el ejemplo del viaje, la constante es igual a 120.
Para analizar la dicha proporcionalidad se lleva a una tabla las correspondientes variables, si en la medida que aumenta (disminuye) una variable la otra aumenta (disminuye) estamos en presencia de una proporcionalidad directa.
En el ejemplo anterior, las variables distancia recorrida y el tiempo recorrido lo se lleva a una tabla y se observa que en la medida que aumenta la distancia recorrida aumenta el tiempo.
El gráfico que representa a una proporcionalidad directa es una línea recta que pasa por el origen.
Proporcionalidad Inversa
Supongamos que queremos pintar una casa y para ello contratamos 2 obreros. Ellos estiman que podrán pintar la casa completamente en 6 días.
Como el tiempo no nos pareció adecuado, entonces decidimos contratar 2 obreros más (4 en total) y estiman que podrán pintar la casa en 3 días.
Y como aún no nos parece suficiente, contratamos otros 2 obreros (6 en total) que estiman, podrán pintar toda la casa en 2 días lo cual nos parece bien. Podemos reconocer 2 variables asociadas a esto: los obreros y el tiempo. Claramente, mientras más obreros contratemos, menos tiempo demoraran.
Esta relación se conoce como proporcionalidad inversa, si una variable aumenta (disminuye), entonces la otra variable disminuye (aumenta) en la misma proporción.
La clave de una proporcionalidad inversa, es que el producto entre ambas variables se mantenga constante. En el ejemplo de la casa, la constante es igual a 12.
De manera similar para analizar este tipo de proporcionalidad se lleva a una tabla las correspondientes variables, si en la medida que aumenta (disminuye) una variable la otra disminuye (aumenta) estamos en presencia de una proporcionalidad inversa.
En el ejemplo anterior, las variables obreros contratados y el tiempo que demoraran lo llevamos a una tabla y observamos que en la medida que aumenta la cantidad de obreros contratados disminuye el tiempo que demoraran.
El gráfico que representa a una proporcionalidad inversa es una hipérbola
En resumen, si x e y son dos variables que se encuentran en
- Proporcionalidad Directa, entonces se cumple que
Archivo:Relacion prop directa.JPG
- Proporcionalidad Inversa, entonces se cumple que
Archivo:Relacion prop inversa.JPG
Donde k es la constante de proporcionalidad respectiva.
Fuentes
- Libro de texto. Matemática 6to grado
- Libro de texto. Matemática 9no grado
