Sistema de numeración
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Sistemas Numéricos
Sistema de Numeración: Es un conjunto de reglas y convenios que permiten la representación de todos los números, a partir de un grupo limitado de símbolos.
Sumario
Tipos de Sistemas Numéricos
- Posicional: Es aquel en que el valor de la cifra cambia según la posición que ocupa la cifra dentro del número. Ej.: sistemas binario, decimal, Hexadecimal, octal, etc.
- No posicional: Es aquel en el que el valor de la cifra no depende de la posición que ocupe dentro del número .Lo que indica que existen dos tipos de valores de las cifras Ej.:Los números romanos.
Base de un sistema de numeración posicional
Es igual a la cantidad de dígitos diferentes que posee el sistema, a partir de los cuales se puede representar cualquier número.
Ejemplos:
- Sistema Decimal - 10 dígitos: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
- Sistema Binario - 2 dígitos: (0,1)
Sistemas de numeración posicional
Sistema Binario
En el sistema binario la base es 2 y sólo se requieren dos cifras, el “0” y el “1” para representar un número. Las cifras 0 y 1 tienen el mismo significado que en el sistema decimal pero difieren en cuanto a la posición que ocupan. En el sistema binario el dígito individual representa el coeficiente de las potencias de dos (2) en lugar de las de diez (10), como sucede en el sistema decimal.
Ejemplo: El número decimal 19 se escribe en representación binaria como 10011 ya que: -10011=1x24 + 0x23 + 0x22+1x21+1x20 -10011= 16 + 0 + 0 + 2+ 1 =19
Sistema Decimal
Es el sistema utilizado habitualmente, su base es 10, es decir consta de 10 dígitos (0-9) que podemos colocar en grupos, ordenados de izquierda a derecha y de menor a mayor. Con estas diez cifras podemos expresar cualquier número. Para escribir un número mayor que 9, asignaremos un significado a la posición de cada cifra en el número completo.
Ejemplo: El número 1264
1264= 1x103+ 2x102+ 6x101+ 4x100
Sistema Octal
De la misma manera que el sistema decimal, el sistema octal necesita ocho cifras para poder expresar o representar cualquier número. La base de éste sistema es 8 .Está formado por los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7.
Sistema Hexadecimal
Este sistema necesita 16 cifras para expresar o representar cualquier número, lo que significa que la base de éste sistema es 16, o sea:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a, b, c, d, e, f; por primera vez aparecerán combinaciones de dígitos, uno de los cuales puede ser una letra pero que para los efectos del sistema Hexadecimal es considerado un número.
Conversión de números
Este método consiste en dividir reiteradas veces un número entre la base del sistema que se desea, hasta encontrar un cociente tal que no sea divisible por el divisor o la base. Después se toma éste último cociente y los restos, de derecha a izquierda, formándose así el número en el sistema solicitado.
*Decimal-Binario: Ej. Necesitamos convertir el número 14 en binario. Para ello dividimos el número 14 por 2, que es la base del sistema en el que lo queremos representar, tantas veces como sea posible hasta llegar a un resto que no se pueda dividir más. En cada división, si no hay resto se coloca “0” y si queda algún resto se coloca “1”. Si este proceso se realiza manual es mucho más fácil identificar el número binario resultante. La base del sistema al cual se hizo la conversión se coloca en el extremo inferior derecho. De modo que tomamos de derecha a izquierda el último cociente y los otros restos. Vea como sigue: 14/2=7 7/2=3 3÷2=1— (0 1 1 — restos y el último cociente es 1.). De modo que el número 14 en decimal se representa 11102 en binario.
- Decimal-Octal
Para ello realizamos una operación parecida a la conversión anterior. Procedemos a dividir el número en cuestión por la base del sistema a convertir.. Por ejemplo tenemos el número 243. Al dividirlo por 8 que es la base del sistema octal, resulta ser 30, con un primer resto de 3, al proceder a dividir 30 entre 8, resulta ser 24, por lo que el resto es 6 y el último cociente es 3. Tomando de derecha a izquierda queda 363. De modo que el 243 en el sistema decimal es 3638 en el sistema octal 243/8=30 30/8=3 (3 6 restos) 3 — ultimo cociente
- Decimal-Hexadecimal
Tenemos el número 243 y deseamos convertirlo en hexadecimal. Procedemos de manera similar a las: conversiones anteriores. Dividimos el número 243 por la base 16. Al hacerlo obtenemos un cociente de 15 con un resto de 3, de modo que tomamos de derecha a izquierda:último cociente(15) y el resto que es 3. En hexadecimal el 15 se representa por la letra F, completándose el resultado. El número 243 en decimal corresponde al F316 en hexadecimal.
Conversión al sistema decimal
Para ello se utiliza el método de multiplicación de potencias sucesivas.
- De binario a decimal.
Convertir el número 111100112 a decimal. El número binario contiene ocho dígitos, por lo que debemos realizar una suma de cada dígito multiplicado por 2 elevado a la potencia correspondiente comenzando por 0, 1, 2 ….n, hasta el último digito. Esta operación la realizamos de derecha a izquierda.
En este caso sería: 1x20+ 1x21+ 0x22+ 0x23+ 1x24+1x25+ 1x26+ 1x27=1+2+0+0+16+32+64+128=243 De modo que el número 111100112 es igual a 243 en el sistema decimal.
- De octal a decimal
Se realiza demanera similar a la anterior pero teniendo en cuenta que la base del sistema ahora es ocho (8).
322258= 5x80+ 2x81+ 2x82+ 2x83+ 3x84= 5+16+128+1024+12288
=5+16+128+1024+12288
=13461
- De hexadecimal a decimal
Esta operación la realizamos de derecha a izquierda. Tomamos cada dígito, lo multiplicamos por la base 8 elevada primero a 0, a uno, ect. Debemos recordar que el valor de F en el sistema decimal es 15. Comenzamos: FF16= Fx160+Fx161=15x160+15x161=15x1+15x16=15+240=255 De modo que el número FF de base 16 es equivalente al 255 de base 10.
Suma binaria
Todas las operaciones se hacen a través de la suma binaria (operación fundamental).
Tabla de la suma
Observamos que sólo hay acarreo cuando le damos el valor de uno (1) a las dos variables.
Resta binaria
La resta consiste en una suma negada (o sea su complemento). Pasos para realizarla:
Deseamos restar A-B. - Tomamos el número A tal como está.
- El número B lo complementamos.
- Realizamos una suma de ambos valores. -Al resultado se le agrega 1. -El acarreo se elimina. --Fuentes--
| A | B | Suma | Acarreo |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
