Diferencia entre revisiones de «Vector»
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{{Definición
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|Nombre=Producto ventorial
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|Nombre=Vector
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|imagen= Pv.jpg
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|imagen= Vectoresmat.jpeg
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|concepto= [[Operación binaria]] entre dos [[vector]]es de un [[espacio  euclídeo|espacio euclídeo tridimensional]] que da como resultado un  vector [[ortogonal]] a los dos vectores originales
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|concepto=  
 
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En [[álgebra lineal]], el '''producto vectorial''' es una [[operación binaria]] entre dos [[vector]]es de un [[espacio euclídeo|espacio euclídeo tridimensional]] que da como resultado un vector [[ortogonal]] a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también '''producto cruz''' (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o '''producto externo''' (pues está relacionado con el [[producto exterior]]).
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De acuerdo con el contexto en que se use se clasifican en:
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== En matemática ==
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== Definición ==
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* '''Vector''', en álgebra lineal, es todo segmento de recta dirigido en un [[espacio vectorial]]
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Sean dos vectores <math>\mathbf a</math> y <math>\mathbf b</math> en el [[espacio vectorial]] <math>\mathbb{R}^3</math>. El producto vectorial entre <math>\mathbf a\,</math> y <math>\mathbf b\,</math> da como resultado un nuevo vector, <math>\mathbf c\,</math>. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su [[módulo]] y [[dirección]]:
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* '''[[Vector (espacio euclídeo)]]''' un conjunto ordenado de números reales, o elementos de un cuerpo.
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== En Física ==
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* El '''módulo''' de <math>\mathbf c\,</math> está dado por
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* '''[[Vector (física)|Vector]]''', es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física orientada.
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:<math> c = a \, b \, \sin\theta</math>
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== En biología ==
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donde ''θ'' es el ángulo determinado por los vectores '''a''' y '''b'''.
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* '''[[Vector biológico]]''', un agente de tipo orgánico que sirve como medio de transmisión.
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* La '''dirección''' del vector '''c''', que es ortogonal a '''a''' y ortogonal a '''b''', está dada por la [[regla de la mano derecha]].
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* '''[[Vector epidemiológico]]''', un organismo capaz de portar y transmitir un agente infeccioso.
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* '''[[Vector (genética)|Vector genético]]''', un agente que porta un gen extraño o modificado.
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El producto vectorial entre '''a''' y '''b''' se denota mediante '''a'''&nbsp;&times;&nbsp;'''b''', por ello se lo llama también ''producto cruz''. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra '''x''' (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante '''a'''&nbsp;∧&nbsp;'''b'''.
+
* '''[[Vector viral]]''', virus inestable modificado que permite introducir material genético exógeno en el núcleo de una célula.
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* '''[[Vector (biología molecular)|Vector de ADN]]''' es un organismo que se utiliza para transferir material genético exógeno a otra célula.
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El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:
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== En informática y computación ==
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{{ecuación|
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* '''[[Vector (informática)|Vector de datos]]''', un conjunto de variables del mismo tipo cuyo acceso se realiza por índices.
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<math>{\mathbf a \times \mathbf b = {a} \, {b} \, {\sin}{\theta}
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* '''[[Vector de interrupciones]]''', el registro que apunta a la dirección en memoria del gestor de la interrupción.
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\ \hat\mathbf n}</math>
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* '''[[VectorLinux]]''', un sistema operativo, con distribución de GNU/Linux basado en Slackware.
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||left}}
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* '''[[Gráfico vectorial]]''', es un dibujo realizado en un programa de diseño gráfico el cual no se distorsiona independientemente de la medida en que se imprima.
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donde <math>\hat\mathbf n</math> es el [[vector unitario]] y [[Ortogonalidad (matemáticas)|ortogonal]] a los vectores '''a''' y '''b''' y su dirección está dada por la [[regla de la mano derecha]] y ''θ'' es, como antes, el ángulo entre '''a''' y '''b'''. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.
+
== En otros contextos ==
−
 
+
* '''[[lanzadera espacial|Vector]]''', o lanzadera espacial, el vehículo de lanzamiento espacial.
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=== Producto vectorial de dos vectores ===
+
* '''[[Vector energético]]''', una forma de almacenar la energía obtenida de otra fuente durante períodos prolongados para su posterior uso.
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[[Archivo:Producto vectorial 2.png|right|Producto vectorial.]]
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* '''[[Vector the Crocodile]]''', personaje de Sonic the Hedgehog SEGA.
−
Sean <math> \mathbf u = u_x \mathbf i + u_y \mathbf j + u_z \mathbf k </math> y <math> \mathbf v = v_x \mathbf i + v_y \mathbf j + v_z \mathbf k </math> dos vectores concurrentes de <math> \mathbb{R}^3 </math>, el [[espacio afín]] tridimensional según la base anterior.
+
* '''[[Vectorman]]''', personaje de videojuego de la consola ''SEGA Genesis''
−
 
+
== Características de los vectores (matemáticas) ==
−
Se define el producto <math> \times : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3 </math>, y se escribe <math> \mathbf u \times \mathbf v </math>, como el vector:
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=== Origen ===
−
{{ecuación|
+
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
−
<math>
+
=== Módulo ===
−
\mathbf u \times \mathbf v =  
+
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
−
  \begin{vmatrix}u_y & u_z \\v_y & v_z \\\end{vmatrix} \mathbf i
+
=== Dirección ===
−
  - \begin{vmatrix}u_x & u_z \\v_x & v_z \\\end{vmatrix} \mathbf j
+
Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
−
  + \begin{vmatrix}u_x & u_y \\v_x & v_y \\\end{vmatrix} \mathbf k
+
=== Sentido ===
−
</math>
+
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
−
||left}}
+
== Clasificación de los vectores ==
−
En el que
+
=== Vectores iguales ===
−
:<math>\begin{vmatrix}a & c \\ b & d \\ \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c </math>, es el [[Determinante (matemáticas)|determinante]] de orden 2.
+
Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección.
−
O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):
+
=== Vector libre ===
−
{{ecuación|
+
Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.
−
<math>
+
== Operaciones con vectores ==
−
\mathbf u \times \mathbf v =
+
=== Suma y resta de vectores ===
−
\begin{vmatrix}
+
La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma:
−
\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
+
Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.
−
u_x & u_y & u_z \\
+
Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores.
−
v_x & v_y & v_z \\
+
Propiedades
−
\end{vmatrix}
+
Conmutativa
−
=
+
a + b = b + a
−
\begin{vmatrix}
+
Asociativa
−
u_y & u_z \\
+
(a + b) + c = a + (b + c)
−
v_y & v_z \\
+
Elemento neutro o vector 0
−
\end{vmatrix}
+
a + 0 = 0 + a = a
−
\cdot \mathbf i -
+
Elemento simétrico u opuesto a'
−
\begin{vmatrix}
+
a + a' = a' + a = 0
−
u_x & u_z \\
+
a' = -a
−
v_x & v_z \\
+
=== Producto de un vector por un escalar ===
−
\end{vmatrix}
+
El resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado analíticamente por kv, es otro vector con las siguientes características :
−
\cdot \mathbf j +
+
1.- Tiene la misma dirección que v.
−
\begin{vmatrix}
+
2.- Su sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el opuesto, si k es un número negativo.
−
u_x & u_y \\
+
3.- El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. ( Si k es 0 el resultado es el vector nulo).
−
v_x & v_y \\
+
Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del vector.
−
\end{vmatrix}
+
==== Propiedades ====
−
\cdot \mathbf k
+
Propiedades
−
</math>
+
El producto de un vector por un escalar cumple las siguientes propiedades:
−
||left}}
+
1.- Conmutativa: k · v = v · k.
−
Que da origen a la llamada [[regla de la mano derecha]] o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de <math> \mathbf u \times \mathbf v </math> es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.
+
2.- Distributiva: k (v + u) = (k · v ) + (k · u).
−
 
+
3.- Elemento Neutro: 1 · v = v.
−
La siguiente expresión, aunque carece de significado matemático estricto, sirve de método nemónico para recordar el orden de las coordenadas en el producto:{{citarequerida}}
+
4.- Elemento Simétrico: -1 · v = - v.
−
{{ecuación|
 
−
<math> \mathbf{u} \times \mathbf{v} =  
 
−
\begin{bmatrix} u_x\\ u_y\\ u_z \end{bmatrix} \times
 
−
\begin{bmatrix} v_x\\ v_y\\ v_z \end{bmatrix} =
 
−
\begin{bmatrix} u_yv_z-u_zv_y\\ u_zv_x-u_xv_z\\ u_xv_y-u_yv_x \end{bmatrix}
 
−
</math>||left}}
 
−
 
 
−
=== Ejemplo ===
 
−
El producto vectorial de los vectores <math>\mathbf a = (2,0,1)</math> y <math>\mathbf b = (1,-1,3)</math> se calcula del siguiente modo:  
 
−
{{ecuación|
 
−
<math>\mathbf a \times \mathbf b =
 
−
\begin{vmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\2 & 0 & 1 \\1 & -1 & 3 \\\end{vmatrix} </math>
 
−
||left}}
 
−
Expandiendo el [[Determinante (matemática)|determinante]]:
 
−
{{ecuación|
 
−
<math>\mathbf a \times \mathbf b = \mathbf i \begin{vmatrix}0 & 1 \\-1 & 3 \\\end{vmatrix} - \mathbf j \begin{vmatrix}2 & 1 \\1 & 3 \\\end{vmatrix} +
 
−
\mathbf k \begin{vmatrix}2 & 0 \\1 & -1 \\\end{vmatrix} =
 
−
\mathbf i - 5 \mathbf j - 2 \mathbf k
 
−
</math>
 
−
||left}}
 
−
Puede verificarse fácilmente que <math>\mathbf a \times \mathbf b</math> es ortogonal a los vectores <math>\mathbf a</math> y <math>\mathbf b</math> efectuando el [[producto escalar]] y verificando que éste es nulo (condición de [[perpendicular]]idad de vectores).
 
−
 
 
−
==Propiedades==
 
−
Cualesquiera que sean los vectores <math> \mathbf a </math>, <math> \mathbf b </math> y <math> \mathbf c </math>:
 
−
 
 
−
#<math> \mathbf a \times \mathbf b = - (\mathbf b \times \mathbf a) </math>, ([[anticonmutatividad]])
 
−
#Si <math>\mathbf a \times \mathbf b = \mathbf 0</math> con <math>\mathbf a \neq \mathbf 0 </math> y <math> \mathbf b \neq \mathbf 0 </math>, <math>\Rightarrow \mathbf a \| \mathbf b </math>; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la [[condición de paralelismo]] entre dos direcciones.
 
−
#<math> ( \mathbf a + \mathbf b ) \times \mathbf c = \mathbf a \times \mathbf c + \mathbf b \times \mathbf c </math>.
 
−
#<math>\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c ) = \mathbf b (\mathbf a \cdot \mathbf c) - \mathbf c (\mathbf a \cdot \mathbf b)</math>, conocida como [[regla de la expulsión]].
 
−
#<math>\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c ) + \mathbf c \times (\mathbf a \times \mathbf b ) + \mathbf b \times (\mathbf c \times \mathbf a ) = 0</math>, conocida como identidad de [[Carl Gustav Jakob Jacobi|Jacobi]].
 
−
#<math>|\mathbf a \times \mathbf b| = a \, b \, \sin \theta </math>, en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores a y b,  siendo <math> \theta </math> ,el ángulo menor entre los vectores <math>\mathbf a</math> y <math>\mathbf b</math>; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del [[paralelogramo]] que definen ambos vectores.
 
−
#El vector unitario <math> \hat\mathbf n = \frac{ \mathbf a \times \mathbf b }{|\mathbf a \times \mathbf b|} </math> es normal al [[plano (geometría)|plano]] que contiene a los vectores <math>\mathbf a</math> y <math>\mathbf b</math>.
 
−
 
 
−
=== Bases ortonormales y producto vectorial ===
 
−
Sea un [[sistema de referencia]] <math> S = \{O; \mathbf i , \mathbf j , \mathbf k \} </math> en el [[espacio vectorial]] <math>\mathbb{R}^3</math>. Se dice que <math> S \,</math> es una [[Base (álgebra)|base]] ortonormal ''derecha'' si cumple con las siguientes condiciones:
 
−
 
 
−
# <math> \mathbf i \cdot \mathbf j = \mathbf j \cdot \mathbf k = \mathbf k \cdot \mathbf i = 0 </math>; es decir, los tres vectores son [[ortogonal]]es entre sí.
 
−
# <math> |\mathbf i|= |\mathbf j|= |\mathbf k|= 1 </math>;  es decir, los vectores son [[Vector unitario|vectores unitarios]] (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son [[ortonormal]]es).
 
−
# <math>\mathbf i \times \mathbf j = \mathbf k </math>, <math> \mathbf j \times \mathbf k = \mathbf i </math>, <math> \mathbf k \times \mathbf i = \mathbf j</math>; es decir, cumplen la [[regla de la mano derecha]].
 
−
 
 
−
===Vectores axiales===
 
−
Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se llaman [[vector axial|pseudovectores o vectores axiales]]. Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un [[vector (física)#Requirimientos físicos de las magnitudes vectoriales|vector físico]].
 
−
 
 
−
=== Dual de Hodge ===
 
−
{{AP|Dual de Hodge}}
 
−
En el formalismo de la [[geometría diferencial]] de las [[variedad riemanniana|variedades riemannianas]] la noción de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto vectorial es simplemente:
 
−
{{ecuación|
 
−
<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
 
−
*(\phi_\mathbf{a} \wedge \phi_\mathbf{b})</math>
 
−
||left}}
 
−
Donde <math>\phi_\mathbf{a}, \phi_\mathbf{b}</math> denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.
 
−
 
 
−
==Generalización==
 
−
Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, éste puede generalizarse a <math>n</math> dimensiones, con <math>n \ne {0,1}</math> y sólo tendrá sentido si se usan <math>n-1</math> vectores, dependiendo de la dimensión en la que se esté. Así, por ejemplo, en dos dimensiones el producto vectorial generalizado sólo tiene sentido si se usa un vector, y el resultado es un vector ortogonal.
 
−
 
 
−
Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de ''n'' vectores vendrá dado por:
 
−
{{ecuación|
 
−
<math>V^a = \epsilon^{aa_1\dots a_{n-1}}V_1^{a_1}\dots V_{n-1}^{a_{n-1}}</math>
 
−
||left}}
 
−
 
 
−
== Otros productos vectoriales ==
 
−
 
 
−
Dados dos vectores, se definen tres [[operación matemática|operaciones matemáticas]] de tipo producto entre ellos:
 
−
* [[producto escalar]]
 
−
* producto vectorial
 
−
* [[producto tensorial]]
 
−
 
 
−
El producto escalar de vectores permite determinar ángulos y distancias (véase [[operador norma]]) de una forma fácil y directa. El producto vectorial proporciona un modo para determinar ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácilmente mediante el llamado [[producto mixto]] de tres vectores.
 
−
 
 
−
En el [[espacio afín]] bidimensional, <math> \mathbb{R}^2 </math>, el producto vectorial es una operación externa, ya que da como resultado un vector que no pertenece al mismo [[espacio vectorial]], esto es al plano definido por los dos vectores que se operan, por ser un vector perpendicular a dicho plano. En el [[espacio afín]] tridimensional, <math> \mathbb{R}^3 </math>, el producto vectorial es una operación interna.
 
−
 
 
−
== Véase también ==
 
−
* [[Producto escalar]]
 
−
* [[Doble producto vectorial]]
 
−
* [[Producto mixto]]
 
−
* [[Producto tensorial]]
 
−
* [[Espacio vectorial]]
 
−
* [[Combinación lineal]]
 
−
* [[Sistema generador]]
 
−
* [[Independencia lineal]]
 
−
* [[Base (álgebra)]]
 
−
* [[Ortogonal|Base ortogonal]]
 
−
* [[Ortonormal|Base ortonormal]]
 
−
* [[Coordenadas cartesianas]]
 
−
 
 
 
== Fuentes ==
 
== Fuentes ==
−
*{{cita libro|autor = Ortega, Manuel R.|título = Lecciones de Física (4 volúmenes)|año = 1989-2006|editorial = Monytex|id = ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7|idioma=español}}
+
* http://www.tochtli.fisica.uson.mx
−
*{{cita libro|autor = Resnick,Robert & Krane, Kenneth S.|título = Physics|ubicación = New York|editorial = John Wiley & Sons|año = 2001|ISBN= 0-471-32057-9|idioma=inglés}}
+
* http://www.vitutor.com
 +
* Libro de Geometría Carrera Matemática
  
−
[[Category:Física]]
+
[[Category: Matemáticas]]

Revisión del 09:03 20 sep 2011

Vector
Información sobre la plantilla
Vectoresmat.jpeg

De acuerdo con el contexto en que se use se clasifican en:

En matemática

En Física

  • Vector, es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física orientada.

En biología

  • Vector biológico, un agente de tipo orgánico que sirve como medio de transmisión.
  • Vector epidemiológico, un organismo capaz de portar y transmitir un agente infeccioso.
  • Vector genético, un agente que porta un gen extraño o modificado.
  • Vector viral, virus inestable modificado que permite introducir material genético exógeno en el núcleo de una célula.
  • Vector de ADN es un organismo que se utiliza para transferir material genético exógeno a otra célula.

En informática y computación

  • Vector de datos, un conjunto de variables del mismo tipo cuyo acceso se realiza por índices.
  • Vector de interrupciones, el registro que apunta a la dirección en memoria del gestor de la interrupción.
  • VectorLinux, un sistema operativo, con distribución de GNU/Linux basado en Slackware.
  • Gráfico vectorial, es un dibujo realizado en un programa de diseño gráfico el cual no se distorsiona independientemente de la medida en que se imprima.

En otros contextos

  • Vector, o lanzadera espacial, el vehículo de lanzamiento espacial.
  • Vector energético, una forma de almacenar la energía obtenida de otra fuente durante períodos prolongados para su posterior uso.
  • Vector the Crocodile, personaje de Sonic the Hedgehog SEGA.
  • Vectorman, personaje de videojuego de la consola SEGA Genesis

Características de los vectores (matemáticas)

Origen

O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

Módulo

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Dirección

Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Clasificación de los vectores

Vectores iguales

Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección.

Vector libre

Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.

Operaciones con vectores

Suma y resta de vectores

La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma: Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo. Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores. Propiedades Conmutativa a + b = b + a Asociativa (a + b) + c = a + (b + c) Elemento neutro o vector 0 a + 0 = 0 + a = a Elemento simétrico u opuesto a' a + a' = a' + a = 0 a' = -a

Producto de un vector por un escalar

El resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado analíticamente por kv, es otro vector con las siguientes características : 1.- Tiene la misma dirección que v. 2.- Su sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el opuesto, si k es un número negativo. 3.- El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. ( Si k es 0 el resultado es el vector nulo). Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del vector.

Propiedades

Propiedades El producto de un vector por un escalar cumple las siguientes propiedades: 1.- Conmutativa: k · v = v · k. 2.- Distributiva: k (v + u) = (k · v ) + (k · u). 3.- Elemento Neutro: 1 · v = v. 4.- Elemento Simétrico: -1 · v = - v.

Fuentes

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