Ángulo diedro

En geometría del espacio se llama ángulo diedro ( o simplemente diedro) a la abertura común entre dos semiplanos que salen de una recta común [1] o la figura formada por dos semiplanos que parten de la misma recta.[2]. Un diedro se denota por dos letras de su arista.

Datos

  • A los semiplanos se les llama caras del diedro
  • A la recta común arista
  • Ángulo lineal es el ángulo formado por dos rayos perpendiculares, trazados desde un punto de la arista, y están , sobre cada una de las caras.
  • La medida del diedro queda determinada por la medida mde su ángulo lineal. Se conviene que m no sea negativo ni exceda 180º. [3]
  • Dos diedros son iguales cuando tienen la misma medida, obviamente en el mismo sistema. Geométricamente cuan se puede establecer una biyección entre las aristas y las respectivas acaras
  • Diedros adyacentes son dos diedros con arista común y están de una y otra parte de una cara común.
  • Geométricamente sumar dos diedros es situarlos en posición de dos diedros adyacentes, el diedro suma es el formado por las caras no comunes. Sumar diedros , aritméticamente es sumar sus medidas.
  • Plano bisector' de un diedro es el plano que que parte de la arista de un diedro y determina dos diedros adyacentes iguales.

Clasificación

Diedro recto

Se denomina diedro recto a cualquiera de los diedros adyacentes, cuyas caras no comunes están en un mismo plano y tienen la misma medida. Es obvio que todos los diedros son iguales. Se divide un diedro recto en 90 partes; cada parte es un diedro de un grado. De modo que el diedro recto mide 90 grados sexagesimales, 90º.

Diedro agudo

Es aquel diedro cuya medida es menor que 90º. O es menor que un diedro recto.

Diedro obtuso

Un diedro es obtuso cuando su medida m es tal que 90º < m < 180.

Diedros complemenrarios

Dos diedros son complementari'os' cuando suman 90º.

Diedros suplementarios

Dos diedros son suplementarios si suman dos diedros rectos o 180º.

Diedros opuestos por el vértice

Son dos diedros que tienen arista común y cuyas caras están respectivamente en dos pares de semiplanos opuestos.

Planos perpendiculares

Un plano es perpendicular a otro plano si forman entre ellos dos diedros adyacentes iguales. [4]

Proposiciones

Teorema directo

Dos diedros iguales tienen ángulos lineales iguales

Teorema recíproco

Si dos diedros tienen ángulos iguales, entonces son iguales.

Teorema de relación

La razón de las medidas de dos diedros es la misma que la de las medidas de sus ángulos lineales.

Teorema de ángulo diedro recto

El ángulo lineal de un diedro recto es recto ( 90º)

Corolario

La medida de un diedro es igual a la medida de su ángulo lineal ( llamado también ángulo plano).

Consideraciones topológicas

Diedro entrante

Un diedro se llama entrante si su medida es mayor que dos rectos y menor que cuatro rectos.

Esto se va a presentar, por ejemplo, en el caso de que la base de un prisma sea un cuadrilátero cóncavo.
interior de un diedro menor de dos rectos.

Sea el diedro FG cuya medida es menor de dos rectos-. Sean A y B dos puntos que no están en la arista del diedro FG, A está en una cara y B en otra cara. Sea la recta AB y K un punto de tal recta si K está entre entre A y B, se dice que K es punto interior del diedro FG. Al conjunto de todos los puntos interiores se llama interior del diedro G.

Frontera

Al conjunto de todos los puntos que están en cualquiera de las dos caras o en la arista se llama punto frontera del diedro y a al con junto de todos los puntos frontera se llama frontera del diedro.

Exterior

Un punto del espacio que no está en el exterior ni en el interior de un diedro se llama punto exterior. Y al conjunto de todos los puntos exteriores se llama exterior del diedro; ;Proposiciones

  1. Un punto del espacio o bien está en el interior o en la frontera o en el exterior de un diedro, pero en uno solo de tales conjuntos.
  2. Tanto el interior como el exterior de un diedro son conjuntos abiertos; la frontera no es conjunto abierto ni conjunto cerrado.
  3. La unión de la frontera con el interior es un conjunto cerrado.
Interior de un ángulo entrante

Se traza el ángulo bisector, como 180 < m < 360, cada cada diedro que ha determinado el plano bisector tiene como medida m/2 < 180. Luego el interior de estos subdiedros se reduce al caso anterior y es posible definirlo. De modo que el interior del ángulo interior a la unión de los interiores de los subdiedros y el conjunto de dos los puntos del plano bisector. [5]

Referencias

  1. G. M. Bruño: ´´Elemento de geometría, Editorial Bruño, Lima s/f
  2. I . Bronstein, K. Semendiaev: Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes, Editorial Mir, Moscú, 1973
  3. Bronstein et al: Op. cit.
  4. Bruño Op. cit
  5. Milton Donayre. Figura y número

Véase también

  • Ángulo
  • Rayo
  • Semiplano