Coeficiente binomial

Coeficiente binomial Concepto: Valor resultante del r-ésimo coeficiente resultante de desarrollar (a+b)n y ordenar según descendentemente los exponentes de a.

Coeficiente binomial. En Matemáticas, Combinatoria, Probabilidades, Matemáticas Discretas y Álgebra dícese tanto del resultado de cada uno de los coeficientes del desarrollo del binomio (a+b)ⁿ con n entero no negativo o como la cantidad de combinaciones sin repetición de n elementos tomados de r en r .

En cualquier caso su representación puede ser ó siendo más usada la última.

El desarrollo de sus componentes en filas y columnas centradas, resulta en la figura algebraica conocida ya desde diversas culturas de la antigüedad y que luego se denominaría Triángulo de Pascal.

Definición

Sea (a+b)ⁿ = C₀aⁿb⁰+C₁a^n-1b¹+C₂a^n-2b²+...+C_n-1a¹b^n-1+C_na⁰bⁿ se llama coeficiente binomial n, r; al coeficiente C_r de la expresión antes vista, donde n es el exponente del binomio a+b y se representa ó . Esta forma de definición se debe a Isaac Newton y es equivalente al llamado teorema del binomio o teorema de Newton.

También el coeficiente binomial de n, r coincide con la cantidad de r-combinaciones sin repetición de los elementos de un n-conjunto dado por el resultado:

• 

donde P_r,n es la cantidad de r-permutaciones en un n-conjunto.

Propiedades

El coeficiente binomial presenta una serie de propiedades bien conocidas como son:

1. 
2. 
3. (Fórmula recursiva aditiva del coeficiente binomial).
4. (Identidad de simetría del coeficiente binomial).
5. (Cantidad de subconjuntos en un conjunto de n elementos).

Las cuatro primeras sirven para la contrucción recurrente del coeficiente binomial. En lenguaje de programación Python sería:

def C(n,k):
    '''(int, int)--> int. Devuelve el valor del coeficiente binomial de n, k.'''
    if n==k or k==0:
        return 1
    if k>n:
        return 0
    if k > n/2:
        return C(n,n-k)
    return C(n-1,k-1) + C(n-1,k)

La quinta es la formulación combinatoria del famoso resultado de la Teoría de Conjuntos: si |A|=n entonces |P(A)|=2ⁿ.

Triángulo de Pascal

Esta figura matemática es descrita y demostrada por primera vez en Occidente de la mano de Blaise Pascal en el siglo XVII y está basado en las propiedades 1 a 4 del coeficiente binomial antes vistas.

La idea era una tabla cuyas filas representaban la cantidad de elementos totales n y las columnas, la cantidad de subconjuntos de r elementos a conformar:

n\r	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	1	3	6	10	15	21	28	36	45
3	1	4	10	20	35	56	84	120
4	1	5	15	35	70	126	210
5	1	6	21	56	126	252
6	1	7	28	84	210
7	1	8	36	120
8	1	9	45
9	1	10
10	1

o esta otra mas esclarecida:

n\r	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	1	2	1	0	0	0	0	0	0	0	0
3	1	3	3	1	0	0	0	0	0	0	0
4	1	4	6	4	1	0	0	0	0	0	0
5	1	5	10	10	5	1	0	0	0	0	0
6	1	6	15	20	15	6	1	0	0	0	0
7	1	7	21	35	35	21	7	1	0	0	0
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1	0	0
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1	0
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1

pero la representación más popular es la de tipo triangular:

• 

En Python pudiera usarse una función como la siguiente para la generacion de todas las filas del triángulo hasta un nivel n dado:

def Triangulo_Pascal(n):
    '''(int)--> list. Devuelve una lista cuyos elementos son
listas que representan las filas del Triangulo de Pascal.'''
    TP = []
    for i in range(n+1):
        F = [C(i, 0)]
        for j in range(1,i+1):
            F.append(C(i,j))
        TP.append(F)
    return TP

Antecedentes

Las formulaciones tanto algebraicas como combinatorias e incluso la forma misma de los números de los coeficientes binomiales dispuestos triangularmente eran conocidos desde la antiguedad mucho antes de quedar formalizadas en 1654, por Blaise Pascal en su "Traité du triangle arithmétique" (trad.: "Tradado del triángulo aritmético"), que constituyó uno de los primeros documentos sobre Análisis Combinatorio y Probabilístico.

Hay referentes escritos de la India y Persia donde matemáticos como Al-Karaji y Omar Jayyam exponen sus consideraciones y análisis al respecto cinco siglos antes que Pascal. En 1303 el chino Yang Hui describe su forma, valores e importancia, haciendo que en su país se nombrara como Triángulo de Yanghui. No obstante el uso se remonta atrás en el tiempo.

Fuentes

1. K. Ribnikov. Análisis Combinatorio. Editorial Mir. Moscú, 1988.
2. K. Ribnikov. Historia de las Matemáticas. Editorial Mir. Moscú, 1987.
3. I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de Matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. Editorial Mir. Moscú, 1973.
4. Colectivo de Autores. Matemática 12 grado. Tomo 1. Editorial Pueblo y Educación. La Habana, 1989.
5. Página del Coeficiente binomial en Wikipedia.
6. Triángulo de Pascal en Wikipedia.