Distribución T de Student
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En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos varianzas muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las partes de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y esta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.
Sumario
Caracterización
La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente
donde
- Z es una variable aleatoria distribuida según una normal típica (de media nula y varianza 1).
- V es una variable continua que sigue una distribución χ² con
grados de libertad. - Z y V son independientes
Si μ es una constante no nula, el cociente 
es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad μ.
Aparición y especificaciones de la distribución t de Student
Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media μ y varianza σ2. Sea
la media muestral. Entonces
sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.
Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudió un cociente relacionado,
es la cuasivarianza muestral y demostró que la función de densidad de T es
donde 
es igual a n − 1.
La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.
El parámetro representa el número de grados de libertad. La distribución depende de , pero no de μ o σ, lo cual es muy importante en la práctica.
Intervalos de confianza derivados de la distribución t de Student
El procedimiento para el cálculo del intervalo de confianza basado en la t de Student consiste en estimar la desviación típica de los datos S y calcular el error estándar de la media: 
, siendo entonces el intervalo de confianza para la media: 
.
Es este resultado el que se utiliza en el test de Student: puesto que la diferencia de las medias de muestras de dos distribuciones normales se distribuye también normalmente, la distribución t puede usarse para examinar si esa diferencia puede razonablemente suponerse igual a cero.
Para efectos prácticos el valor esperado y la varianza son:
Historia
La distribución de Student fue descrita en 1908 por William Sealy Gosset. Gosset trabajaba en una fábrica de cerveza, Guinness, que prohibía a sus empleados la publicación de artículos científicos debido a una difusión previa de secretos industriales. De ahí que Gosset publicase sus resultados bajo el seudónimo de Student.[1]
Distribución t de Student no estandarizada
La distribución t puede generalizarse a 3 parámetros, introduciendo un parámero locacional <math>\mu</math> y otro de escala <math>\sigma</math>. El resultado es una distribución t de Student no estandarizada cuya densidad está definida por:[2]
Equivalentemente, puede escribirse en términos de <math>\sigma^2</math> (correspondiente a la varianza en vez de a la desviación estándar): {{imagen:Student12.png]]
Otras propiedades de esta versión de la distribución t son:[2]
Referencias
Enlaces externos
- Tabla de distribución de T de Student
- Prueba t de Student en la UPTC de Colombia
- Tabla distribución t de Student
- Distribución t-Student: Puntos porcentuales para probabilidad superior
- Probability, Statistics and Estimation en inglés. Primeros Studentes en la página 112.
- [1] Calcular la probabilidad de una distribución t-Student con R (lenguaje de programación)
