Trigonometría

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‘’La trigonometría’’’ reúne en una sola teoría dos tipos diferentes de aplicaciones, para estudiar relaciones numéricas entre los lados y los ángulos de los triángulos y analizar los problemas relativos a los hechos periódicos.

Antecedentes

Un poco de historia:

La palabra “trigonometría” es una combinación de dos palabras (del griego trigonom triángulo; metro media). La trigonometría tuvo sus orígenes en Grecia y Egipto, su estudio tiene una historia continua, desde su origen hasta la actualidad. El nombre originalmente correcto, es inadecuado en la actualidad, puesto que la medición de triángulos no es la única aplicación importante para esta materia en la actualidad.

Para hallar sus orígenes nos trasladamos hasta el siglo II (adne), en sus comienzos estaba estrictamente relacionada con la geometría, tiene su origen al parecer, con la aplicación de los principios geométricos a los problemas de deslizamiento de terrenos, así como a la astronomía. En este propio siglo, el matemático Hiparlo (180-125 adne), nacido en Nicea, Asia Menor y considerado el más destacado de los astrónomos griegos, inicia el uso de una tabla de cuerdas de la circunferencia que en cierto modo equivalía a una tabla rudimentaria de valores del seno.

En su astronomía, Hiparlo había introducido la división sexagesimal de los babilonios y otro matemático relevante, Claudio Ptolomeo (Tolomeo) (griego residente en Alejandría) solo unos años más tarde continúa el uso de esta división, y en su obra el “Almagesto”, calcula una tabla de cuerdas y llega a expresiones en las que si se cambia la palabra “cuerda” por “doble del seno del arco mitad” se obtendrían algunas fórmulas de la actual trigonometría.

Existen antecedentes aislados del uso de la trigonometría en época anteriores; ejemplo los egipcios habían utilizado los principios de la trigonometría para restablecer los linderos de la parcelas a lo largo del río Nilo, que se desaparecían a cauda de las crecientes del río todos los años.

El desarrollo de todos estos principios en una teoría coherente, para la solución de problemas más complicados se atribuye a Hiparlo.

Algo curioso:

Para los poco familiarizados con la historia clásica de Grecia se maravillarían al conocer el avance científico que ya tenían en esa época, por ejemplo, los griegos ya habían descubierto que la Tierra era esférica, usando la geometría y la trigonometría habían estimado su diámetro y el de la Luna con exactitud sorprendente. Estos descubrimientos quedaron olvidados por más de 1000 años siendo considerados nuevamente en tiempos de Cristóbal Colón.

Más cercano a nosotros:

En el siglo IX los árabes adoptaron y desarrollaron la trigonometría hindú y el astrónomo Al Battari usa, además del seno, la tangente, la cotangente y da un paso importante al aplicar el álgebra a la trigonometría. El primer texto árabeen el que aparece la trigonometría como una ciencia independiente se debe al astrónomo persa Nassir-eddin (1201-1274). Con la entrada de los árabes a Europa se difunden sus conocimientos matemáticos, se publica el primer tratado de trigonometría, escrito en latín en 1464, escrito por el matemático alemán J. Müller y en ella muestra de forma sencilla y elegante el Teorema de los senos.

El importante desarrollo de Francois Vieta (1540-1603) logró con el álgebra simbólica aplicarla a la trigonometría y obtener por procedimientos algebraicos con todas las identidades fundamentales de la actual trigonometría.

Después de Tolomeo hubo pocas adiciones a la trigonometría, hasta el siglo XVII, momento en el cual ideas de muchos matemáticos han influido en el desarrollo de esta disciplina.

¿Qué nos brinda esta teoría?

La trigonometría reúne en una sola teoría dos tipos diferentes de aplicaciones. Los métodos trigonométricos, pueden ser utilizados, para estudiar relaciones numéricas entre los lados y los ángulos de los triángulos y, por otro lado, analizar los problemas relativos a los hechos periódicos como veremos más adelante.

Dentro del primer tipo se pueden ver deslindamiento de terrenos, astronomía, navegación, mecánica; en el segundo tipo se presentan en estudio de fenómenos eléctricos, teoría de las vibraciones y en otras ramas de la ciencia e ingeniaría moderna.

Algo que debemos saber

Para comprender la teoría que se soporta en la trigonometría es necesario conocer algunos elementos básicos.

1. Circunferencia en un eje de coordenadas. Un círculo de radio positivo r con su centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares m • Si el círculo se divide en 360 ángulos centrales iguales, cada uno es la unidad para la medida del sistema sexagesimal. Por tanto, a la circunferencia entera corresponde un arco de 360 grados (360˚). Un grado es igual a 60 minutos (60´) e igual a 3600 segundos (3600´´). • La longitud de la circunferencia de radio r unidades es igual a [[ ]] unidades • En un mismo círculo, los ángulos centrales son proporcionales a sus arcos correspondientes. Poner figura

2. Razones trigonométricas Según el Teorema de Pitágoras existe relación entre los lados de un triángulo rectángulo, también en este tipo de triángulo existe relación entre sus ángulos, además de relaciones entre lados y ángulos que se expresan mediante razones trigonométricas, seno, coseno, tangente.

Definición: Sea α un ángulo agudo de vértice A de un triángulo rectángulo ABC. Sean a y b los catetos y c la hipotenusa, se llama:

• Seno de α y se denota sen α, a la razón , entre el cateto opuesto a α y la hipotenusa. • Coseno de α y se denota cos α, a la razón , entre el cateto adyacente a α y la hipotenusa. • tangente de α y se denota tan α, a la razón , entre el cateto opuesto y el adyacente a dicho ángulo.

Esquema para recordar:

Poner esquema

3. Ángulos notables

Poner ángulos notables

4. Identidades fundamentales

Se cumple que:

Poner ángulos notables

5. Propiedades de las funciones

Función seno

Poner propiedades y función

Función coseno

Poner propiedades y función

La trigonometría y hechos periódicos

En el mundo físico ocurren muchos hechos periódicos, la sucesión de los días y las noches, las fases de la luna, la aparición de los cometas, el flujo y reflujo de la marea, y en menor escala, el movimiento del péndulo. La acción de los pistones de una máquina de combustión interna, la rotación de las manecillas del reloj. Todos estos hechos ocurren en forma periódica(o casi periódica). Uno de los propósitos de las matemáticas es suministrar un lenguaje simbólico y expresiones mediante el cual se puedan describir los hechos del mundo físico.

A partir del conocimiento de las propiedades de las funciones trigonométricas identificamos que las mismas son funciones periódicas, en ellas se manifiestan propiedades que nos ayudan a resolver problemas relacionados con la periodicidad y por tanto nos ayudan a solucionar problemas prácticos de la física.

Gráfico seno

La primera propiedad es el desplazamiento

Si α es un numero real no negativo, α se puede representar en radianes de un águlo. El gráfico y=sen(x-α) es semejante al gráfico y= sen x en todos sus aspectos, excepto

poner el gráfico con la tabla

en uno; esa diferencia se muestra en la figura. En lugar de intersecar el eje x en los puntos {0 ± nπ}, esta curva lo interseca en los puntos {α ± nπ}. Se describe este gráfico como un despplazamiento de la función seno α unidades a la derecha sobre el eje x

La segunda propiedad es la amplitud

Sea m un número real no negativo. El grafico y= m sen x, es similar en todos los aspectos menos en uno a y= sen x, como se observa en la figura.Cada ordenada de

poner el gráfico con la tabla

la función es igual a la ordenada de y=sen x multiplicada por m, será mayor o menor que esta dependiendo que m sea mayor o menos que uno. La ordenada máxima positiva se llama amplitud de la función, como sen x tien su valor máximo en uno, la amplitud de m sen x será m.

La tercera propiedad es el período

Si p es un número real positivo. El gráfico de y=sen px, es similar a y=sen x excepto en uno del gráfico y=sen x. La función y=sen x tiene período 2π, se cumple por ser el seno una función períodica que sen px tiene período 2π/p

Analizamos si p=2

Grafico para p=2

Si p=1/2

Grafico

Si p<1 se dilata y si p>1 se contrae

Generalizando los tres casos analizados anteriormente lleganos a la función:

y=m f(px-α)

y la misma permite describir numerosos fenómenos físicos, llamados oscilaciones armónicas, siendo f definido tanto para el seno como para e coseno o sea.

Un tema especial: El tamaño de la Tierra

Fuente

• Elementos de trigonometría plana de Henry Sharp Jr
• Matemática 10mo grado de Dr Luís Campistrous Pérez y colectivo de autores.