Filosofía de las Matemáticas

Filosofía de la Matemática Concepto: Es una rama de la Filosofía, aborda cuestiones fundamentales sobre el contenido de las matemáticas.

Filosofía de las Matemáticas. Es una rama de la filosofía. Según Michael Dummett puede considerarse que hay cuatro preguntas fundamentales sobre el contenido de la filosofía de las matemáticas:

• ¿Cómo sabemos que nuestras teorías matemáticas son verdaderas?
• ¿Sobre qué son las matemáticas? En otras palabras, si un enunciado matemático es verdadero, ¿qué lo hace verdadero? ¿En virtud de qué es verdadero?
• ¿Las verdades matemáticas son verdaderas por necesidad? Y, si lo son, ¿cuál es la fuente de esta necesidad?

El origen de las matemáticas y el empirismo matemático

El nacimiento de las matemáticas

Es indudable que las matemáticas tienen su origen en las actividades de contar y medir, aunque el cómo sea más difícil de establecer. La mejor hipótesis de la que disponemos se basa en los hallazgos arqueológicos en Mesopotamia. Entre el siglo III y IV a. C. existieron fichas que tenían la función de describir cantidades de productos, animales o cualquier elemento de la actividad económica. La forma de hacerlo debe de haber sido aditiva durante largo tiempo. Así, en caso de disponer de cinco animales, se representaría tal cantidad por cinco fichas, pongamos por caso, en forma de cilindro.

Si, en cambio, se quería registrar cinco jarras de aceite, se emplearían cinco ovoides con una marca. De este modo, cada ficha representaría una unidad del producto cuya naturaleza viene representada por la forma de la ficha y la cantidad presenta una representación aditiva. Con ello tenemos la condición necesaria para la aparición de los números que es el establecimiento de una correspondencia uno-a-uno entre los elementos a contar (animales, jarras) y los elementos contables (fichas); pero todavía no tenemos números.

El empirismo matemático

Para John Stuart Mill los conceptos matemáticos proceden del mundo físico y las verdades de la matemática son verdades sobre el mundo físico, aunque de un carácter más general. Las verdades matemáticas serían las verdades más generales de todas. Una posición que puede ser fácilmente confundida con la de Mill es la de David Hume. Para Hume, los conceptos matemáticos tienen su origen remoto en la sensación que luego es transformada por la actividad de la mente pero las verdades matemáticas son verdades sobre las relaciones entre las ideas, no sobre lo percibido.

En su Tratado de la Naturaleza Humana (Hume 1739, Libro I, Parte II), Hume mantiene que nuestros sentidos dan lugar a las impresiones que son copiadas por nuestras ideas, las cuales son reorganizadas por nuestra actividad mental dando lugar a ideas complejas. Un tipo de idea compleja son las relaciones y dentro de ellas Hume destaca aquellas que dependen enteramente de la comparación de ideas: la semejanza, los grados de cualidad y las proporciones de cantidad. De estas tratan las matemáticas que, para Hume, son básicamente la geometría y la aritmética.

El carácter axiomático y demostrativo de las matemáticas. El logicismo

La organización en elementos de las matemáticas

Como ha mostrado la exposición anterior sobre las matemáticas mesopotámicas, éstas tenían un carácter práctico. Ello se ve confirmado por el hecho de que, en las tablillas conservadas en los museos, no hay textos seguidos donde se explique nada y sólo de forma excepcional aparecen procedimientos generales y no ejemplos con números. No obstante, los problemas concretos están organizados en tipos y ordenados empezando por los más simples, a los que se tratan de reducir los más complicados.

De manera que implícitamente existe una percepción abstracta y general de los procedimientos, aunque se expongan mediante ejemplos numéricos, a la manera en que los manuales de latín incluyen paradigmas concretos de declinaciones y conjugaciones (por ejemplo en latín, rosa-rosae, amo-amas-amare). Es decir, lo importante no son los valores numéricos, sino el esquema subyacente que ejemplifican. Así el rasgo común de estas matemáticas es que consisten en técnicas de cómputo numérico y no en indagación teórica sobre propiedades aritméticas, geométricas o algebraicas. De hecho, no hay nada semejante a una demostración.

Logicismo

Como otra ilustración de qué es y cómo procede una axiomatización, se daría un salto de casi 25 siglos y se acudiría a la Teoría de conjuntos. La teoría de conjuntos matematiza un concepto relativamente sencillo de entrada como es el de conjunto, colección o clase. Se piensa en ese concepto: ¿qué es un conjunto? Se pueden dar sinónimos: colección de cosas, clase de cosas, reunión de cosas. O se puede analizar lo que indican en común esas expresiones: cosas diferentes, llamadas elementos, que forman un todo. Pero lo que busca el matemático es la exactitud ¿cuándo podemos decir que tenemos un conjunto? La respuesta que encontraron los matemáticos fue la pertenencia.

La Teoría de Conjuntos es una definición de "conjunto" pero también de "pertenencia". Lo que caracteriza a un conjunto es que a él le pertenecen sus elementos; o dicho de otra manera, los elementos de un conjunto son sus miembros, los elementos de un conjunto son miembros del conjunto.

Concepciones filosóficas de logicismo

Una de las orientaciones principales en la fundamentación de las matemáticas, que trata de reducirlas a la lógica. Aunque esta idea había sido expuesta ya por Leibniz, Frege intentó realizarla. Este último se planteó:

1) determinar los conceptos de partida de las matemáticas únicamente con términos de la lógica y

2) demostrar los principios de las matemáticas, partiendo sólo de los principios de la lógica y empleando sólo las demostraciones lógicas.

Los trabajos posteriores en esta dirección (Russel y Whitehead, 1910-1913; F. Ramsey, 1926; W. Quine, 1940), a pesar de todo el valor de sus resultados, no permitieron realizar este programa, porque el planteamiento metodológico del logicismo es erróneo por principio: "la afirmación de que las matemáticas no dependen del mundo objetivo ni de las tareas de su estudio". Por el contrario, el desarrollo de la lógica matemática condujo a la conclusión de que las secciones fundamentales de las matemáticas (por ejemplo, la aritmética) son irreductibles a la lógica (teorema de Gödel).

Necesidad en matemáticas. Proposiciones analíticas y sintéticas

Hasta ahora han surgido al menos tres características fundamentales del saber matemático: la matemática es deductivo - axiomática, universal y a priori. Pero existe otra característica relevante. La mayor parte de los filósofos, como la mayor parte de la gente, han considerado que las verdades matemáticas tienen una forma de ser verdaderas que es peculiar en cierto sentido.

Por ejemplo, colocamos unas bacterias en un portaobjetos, tres primero y luego otros dos. A continuación contamos todas las bacterias para comprobar si en este caso 3 y 2 suman 5. Supongamos que contamos 6 bacterias ¿Consideraríamos esto como una refutación de la proposición, o, por lo menos, como una prueba de que la proposición no se aplica a las bacterias? Es claro que no. Pensaremos o que nos hemos equivocado o que las bacterias se han reproducido.

La filosofía de las matemáticas de Kant

La filosofía de la matemática de Kant elabora, desde el punto de vista epistemológico, la práctica matemática de su época todavía basada en la geometría de Euclides (Shabel 1997). La obra donde se pueden encontrar lo fundamental de la filosofía de la matemática de Kant es su Crítica de la razón pura, que además de ser también su obra más importante es una de las cimas de la filosofía occidental moderna.

La filosofía de las matemáticas después de Kant

Según Dummett, el primero en acometer la tarea de liberar al análisis de la intuición fue el matemático y filósofo checo Bernard Bolzano. Como filósofo fue una excepción por la poca influencia que Kant ejerció sobre él. Como matemático, estaba determinado a eliminar la intuición del análisis, y probar desde axiomas todo lo que pudiese ser probado, no importaba cómo de obvio pudiese parecer cuando se pensaba en términos geométricos. Una razón para esto fue que lo que parece obvio intuitivamente puede no ser verdadero.

Si pensamos en una función continua en un intervalo (incluyendo los puntos extremos) representada por un una curva en un papel, parece intuitivamente obvio que, en el intervalo dado, cualquier curva debe tener una pendiente excepto en un número finito de puntos; cuando, por ejemplo, la curva está hecha de dos segmentos de línea recta en ángulos diferentes, no hay pendiente en el punto en el que se encuentran las dos líneas. Sin embargo, Bolzano obtuvo el primer ejemplo (aunque no lo publicó) de una función continua en un intervalo pero que no era diferenciable en ningún punto del intervalo.

Expresado geométricamente, esto estaría representado por una curva continua que no tuviese pendiente en ningún sitio; naturalmente, no se puede dibujar, excepto una sucesión de aproximaciones a ella. Sin embargo, incluso cuando lo que parece obvio es de hecho verdadero, en opinión de Bolzano, sigue siendo necesario deducirlo y hacerlo sin invocar ideas ajenas de espacio o tiempo: las matemáticas están interesadas no sólo en establecer verdades sino en determinar qué verdades reposan sobre otras. (Véase Tambien Bernard Bolzano)

El formalismo

Pese a lo dicho en la sección anterior, la influencia de Kant no desapareció. El formalismo es una posición en filosofía de las matemáticas que sigue siendo fiel a Kant en esencia aunque recoge las pretensiones de la eliminación de la intuición pura en el sentido de intuición geométrica. Su autor más importante es David Hilbert. Un formalista hilbertiano considera que el lenguaje, en concreto el lenguaje matemático, puede reducirse a operar espaciotemporalmente con signos.

Y saca como consecuencia que nuestros conceptos matemáticos pueden ser expresados, como pensaba Kant, en operaciones sobre las relaciones de espacio y tiempo. Sin embargo, cuando Kant decía esto pensaba básicamente en la geometría (construir figuras y sólidos geométricos). Cuando los formalistas hablan de operaciones sobre las relaciones de espacio y tiempo piensan en los sistemas formales. (Véase también David Hilbert)

Intuicionismo

El concepto fundamental del intuicionismo es uno que ya hemos nombrado: la construcción. Para un intuicionista (Koerner 1968, "Intuicionismo") una construcción es una entidad mental y en ningún caso se pueden identificar con entidades lingüísticas. Las construcciones no son oraciones del lenguaje natural ni de un lenguaje o sistema formal aunque puedan expresarse en ellos.

Situación actual

A lo largo del presente artículo se han presentado diversas posiciones ontológicas y epistemológicas sobre las matemáticas. Sin temor a equivocarse, se puede decir que la mayor parte de los matemáticos son platónicos, realistas matemáticos. Porque la mayor parte de las matemáticas clásicas deben suponer, para poder llevarse a cabo, la concepción platónica. El ejemplo más extremo es el de la Teoría de Conjuntos.

Fuentes

• Benacerraf, Paul (1973), "Mathematical Truth" en Hart, W. D. (ed.): The Philosophy of Mathematics. Oxford: Oxford University Press, 1996.
• Información ofrecida por Torres Avila, Javier. Instructor Joven Club Puerto Padre V.2011
• Dummett, Michael (1998), "The Philosophy of Mathematics" en Grayling, A. C. (ed.)Philosophy 2: Further Through The Subject, Oxford University Press, 1998.
• Hume, David (1739), Tratado de la naturaleza humana, Editorial Tecnos, versión de Félix Duque (1977), 1988, (SB se refiere a la paginación de la edición Selby-Biggem)
• Kant, Immanuel (1781), Crítica de la razón pura, versión de Pedro Ribas (1978), editorial Alfaguara, 1983
• Körner, Stephan (1968), Introducción a la filosofía de la matemática, Editorial Siglo XXI, 1968
• Lorenzo, J. de (1992), Kant y la matemática. El uso constructivo de la razón pura, Editorial Tecnos, 1992
• M. Rosental y P. Iudin. Diccionario Filosófico. Editorial Política. Cuba.1981.