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Álgebra Booleana

Álgebra booleana
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Álgebra booleana en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.


Álgebra booleana en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. El Álgebra de Boole es el algebra de 2 valores. Normalmente tienen el valor “0” y “1”, pero también pueden tener los valores de “falso” y “verdadero”. Básicamente es un lenguaje en módulo 2. Las posibles operaciones de las que dispone están sujetas a las leyes de Morgan. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. El Álgebra de Boole es el algebra de 2 valores. Normalmente tienen el valor “0” y “1”, pero también pueden tener los valores de “falso” y “verdadero”. Básicamente es un lenguaje en módulo 2. Las posibles operaciones de las que dispone están sujetas a las leyes de Morgan.


Historia y Conceptualización Fundamental

Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The Mathematical Analysis of Logic, publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y William Hamilton.

Álgebra Booleana

El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

  • Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
  • Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.
  • Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
  • Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
  • Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A.
  • Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

Álgebra booleana en un juego de operadores y valores

- Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo se llama a éstos valores respectivamente como falso y verdadero. - El símbolo · representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B. - El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B. - El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A. - Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha.

Postulados

  • P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT
  • P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT
  • P3 Los operadores · y + son conmutativos.
  • P4 · y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C).
  • P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el complemento lógico de A.
  • P6 · y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).

Teoremas del álgebra booleana

Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:

  • Teorema 1: A + A = A
  • Teorema 2: A · A = A
  • Teorema 3: A + 0 = A
  • Teorema 4: A · 1 = A
  • Teorema 5: A · 0 = 0
  • Teorema 6: A + 1 = 1
  • Teorema 7: (A + B)' = A' · B'
  • Teorema 8: (A · B)' = A' + B'
  • Teorema 9: A + A · B = A
  • Teorema 10: A · (A + B) = A
  • Teorema 11: A + A'B = A + B
  • Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'
  • Teorema 13: AB + AB' = A
  • Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'
  • Teorema 15: A + A' = 1
  • Teorema 16: A · A' = 0

Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honor al matemático que los descubrió.

Características

Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características: 1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x + y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro) que representaremos por x'. 2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1) Y 3- Tiene las siguientes propiedades:

  • Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x

Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z) Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz) Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z) Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x Identidad respecto a la segunda función: x1 = x Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1 Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0

Propiedades del Álgebra De Boole

Idempotente respecto a la primera función: x + x = x Idempotente respecto a la segunda función: xx = x Maximalidad del 1: x + 1 = 1 Minimalidad del 0: x0 = 0 Involución: x = x Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y' Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'

Función Booleana

Una función booleana es una de A x A x A x....A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole. Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría. Cada uno puede votar si o no. Representemos el voto de cada uno por xi. La función devolverá sí (1) cuando el numero de votos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolverá 0. Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la función booleana devolverá 0. Producto mínimo (es el número posible de casos) es un producto en el que aparecen todas las variables o sus negaciones. El número posible de casos es 2n.

Las funciones booleanas se pueden representar como la suma de productos mínimos (minterms) iguales a 1.

Álgebra Booleana y circuitos electrónicos

La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, de hecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicos de compuertas digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un circuito electrónico y viceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las compuertas lógicas homónimas Un hecho interesante es que es posible implementar cualquier circuito electrónico utilizando una sola compuerta, ésta es la compuerta NAND Para probar que podemos construir cualquier función booleana utilizando sólo compuertas NAND, necesitamos demostrar cómo construir un inversor (NOT), una compuerta AND y una compuerta OR a partir de una compuerta NAND, ya que como se dijo, es posible implementar cualquier función booleana utilizando sólo los operadores booleanos AND, OR y NOT. Para construir un inversor simplemente conectamos juntas las dos entradas de una compuerta NAND. Una vez que tenemos un inversor, construir una compuerta AND es fácil, sólo invertimos la salida de una compuerta NAND, después de todo, NOT ( NOT (A AND B)) es equivalente a A AND B. Por supuesto, se requieren dos compuertas NAND para construir una sola compuerta AND, nadie ha dicho que los circuitos implementados sólo utilizando compuertas NAND sean lo óptimo, solo se ha dicho que es posible hacerlo. La otra compuerta que necesitamos sintetizar es la compuerta lógica OR, ésto es sencillo si utilizamos los teoremas de DeMorgan, que en síntesis se logra en tres pasos, primero se reemplazan todos los "·" por "+" después se invierte cada literal y por último se niega la totalidad de la expresión: A OR B A AND B.......................Primer paso para aplicar el teorema de DeMorgan A' AND B'.....................Segundo paso para aplicar el teorema de DeMorgan (A' AND B')'..................Tercer paso para aplicar el teorema de DeMorgan (A' AND B')' = A' NAND B'.....Definición de OR utilizando NAND Si se tiene la necesidad de construir diferentes compuertas de la manera descrita, bien hay dos buenas razones, la primera es que las compuertas NAND son las más económicas y en segundo lugar es preferible construir circuitos complejos utilizando los mismos bloques básicos. Observe que es posible construir cualquier circuito lógico utilizando sólo compuertas de tipo NOR (NOR = NOT(A OR B)). La correspondencia entre la lógica NAND y la NOR es ortogonal entre la correspondencia de sus formas canónicas. Mientras que la lógica NOR es útil en muchos circuitos, la mayoría de los diseñadores utilizan lógica NAND.

Teoremas Básicos Del Algebra Booleana

Los Teoremas Básicos del álgebra Booleana son: TEOREMA 1 Ley Distributiva A (B+C) = AB+AC


TEOREMA 2 A+A = A AA = A


TEOREMA 3 Redundancia A+AB = A


TEOREMA 4 0+A = A Equivalente a una compuerta OR con una de sus terminales conectada a tierra


Equivalente a una compuerta AND con una de sus terminales conectada a 1


Fuente

  • George Boole. Cmabridge and Dublin Mathematical Journal Vol. III (1848), pp 183-93 [en línea]. The Calculus of Logic [Consultado 21 Febrero de 2011]. Disponible en [ http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Boole/CalcLogic/CalcLogic.html ]
  • Juan González Gómez [en línea]. Curso Completo de Electrónica. [Consultado 21 Febrero de 2011]. Disponible en [1]
  • Rafael López Humada [en línea]. Fundamentos de los Computadores. Álgebra de Boole [Consultado 18 Febrero de 2011]. Disponible en: [2]
  • [3]
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  • [5]
  • [6]