Arend Heyting
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Arend Heyting. Fue un lógico y matemático holandés, especialista en los fundamentos de las matemáticas. Fundador de un álgebra especial que presenta modelos de la lógica intuicionista. Estableció una teoría que rechaza el método axiomático y se orienta hacia las demostraciones de tipo intuicionista.
Sumario
Síntesis biográfica
Nació en Ámsterdam el 9 de mayo de 1898. En sus primero años de estudio siempre soñó con una carrera de ingeniería, idea que cambió al conocer y dominar las matemáticas, tanto fue así que se decidió por ésta y en 1916 comienza a estudiarla en la Universidad de Ámsterdam. En la universidad fue discípulo y seguidor de Brouwer el cual influyó mucho en su trabajo futuro. En 1922 sale de la universidad con el grado de maestría. Heyting comienza como profesor de enseñanza secundaria, pero todo el tiempo libre lo dedicaba a trabajar en su investigación. En 1925 recibió su doctorado con la tesis “Axiomática de la geometría proyectiva intuicionista” escrita bajo la supervisión de Brouwer. Este fue el primer estudio de la axiomatización de las matemáticas constructivas.
En 1936 fue nombrado profesor en la Universidad de Ámsterdam. Ocupó este cargo durante veinte años hasta su jubilación en 1968. Muere en Suiza el 9 de junio de 1980 a la edad de 82 años. Fue un hombre digno, que es bien recordado por los estudiosos de todo el mundo por su defensa persistente de sus ideales filosóficos y por su amabilidad y bondad inagotable.
Aportes a la lógica intuicionista
Los estudios de Heyting tienen una gran importancia en muchos sentidos, en primer lugar introdujo los formalismos que se difundieron luego ampliamente, los cálculos intuicionistas de los enunciados y predicados, la aritmética intuicionista, llamada a menudo aritmética de Heyting. Además, se relevó un detalle asombroso: los cálculos lógicos clásicos pueden ser obtenidos de los homónimos intuicionistas con la simple adición de la ley del tercero excluido. Esta circunstancia resultó un estímulo sustancial para numerosas investigaciones sobre la equiparación de los formalismos clásicos e intuicionistas.
Desde el punto de vista de la fundamentación finita de las matemáticas tradicionales despiertan especial interés las interpretaciones, construidas posteriormente, de muchas e importantes teorías formales clásicas en sus homónimas intuicionistas. En segundo lugar mostró la posibilidad misma de formalizar la matemática intuicionista, que suscitaba la duda de muchos. Se logró formalizar las construcciones de Brouwer, como las teorías de los torrentes, de los conjuntos y de las sucesiones libremente formadas. Por primera vez formuló con precisión una versión del principio de continuidad, excepcionalmente importante para el análisis intuicionista.
Fue inmenso el efecto netamente psicológico: los matemáticos no intuicionistas comprendieron que tendrían que ver con la problemática intuicionista y que esta no se reducía a aspectos solamente filosóficos o críticos, sino que representaba un interés lógico y matemático autónomo.
Heyting hizo un aporte sustancial y original al intuicionismo, sus esfuerzos protegieron el intuicionismo del olvido y menoscabo, y si hoy el intuicionismo está lleno de vida, esto se debe en gran medida a él. Es fácil imaginar que, sin los esfuerzos de Heyting, la revolución intuicionista se habría extinguido y las ideas de Brouwer habrían sido sepultadas en el mausoleo de la historia matemática.
Algebra y aritmética
Arend Heyting fue el creador de los conjuntos parcialmente ordenados, denominados "álgebras de Heyting". Estas se presentan como modelos de la lógica intuicionista, una lógica en la cual la ley del tercero excluido no vale. Las álgebras completas de Heyting son un objeto central de estudio en topología sin puntos. En cualquier álgebra de Heyting, el menor y mayor elementos 0 y 1 son regulares. Además, los elementos regulares de cualquier álgebra de Heyting constituyen un álgebra booleana.
Heyting también fue el primero en proponer la axiomatización de la aritmética siguiendo los lineamientos de la escuela intuicionista. A esto se le llama en la lógica matemática “aritmética de Heyting”. La aritmética de Heyting adopta los axiomas de Peano, pero utiliza las reglas de inferencia de la lógica intuicionista. Particularmente, el principio del tercero excluido no es en general admitido, pese a que dicho axioma puede ser utilizado para la demostración de algunos casos específicos.
La aritmética de Heyting no debe confundirse con el álgebra de Heyting, que es análogamente el equivalente intuicionista del álgebra de Boole.
Obras
A lo largo de su carrera profesional Heyting escribió artículos y libros que divulgaban y sustentaban sus principios intuicionistas en diferentes terrenos, algunas de sus principales obras son:
- 1934 Intuicionismo y teoría de la prueba.
- 1956 Intuicionismo: una introducción (primera edición).
- 1965 Introducción al intuicionismo.
Fuentes
- Guétmanova, Alexandra. Panov, Mijaíl. Petrov, Valili. Lógica: en forma simple sobre lo complejo. Editorial Progreso, Moscú, 1991. ISBN 5-01-002821-2
