Axiomática de Conjuntos

Axiomática de conjuntos que presentamos es la propuesta por el matemático soviético, Gorbátov; es la construcción formal de la teoría de conjuntos, usando para el caso un sistema de axiomas adecuados y con el objetivo de emplear en temas de Informática. [1]. El nombre se que se asume es el del autor de la obra escrita que aparece mencionado en referencias de esta página.

Axiomática

Axioma de existencia

Existe por lo menos un conjunto.[2]

Axioma de voluminosidad

Llamado también axioma de extensionalidad. Si los conjuntos Ma y Mb se componen de los mismos elementos, ellos coinciden (son iguales): Ma = Mb[3]

Axioma de unión

Para dos conjuntos arbitrarios Ma y Mb existe un conjunto, cuyos elementos son todos los elementos del conjuntos Ma y todos los elementos del conjunto Mb y que no contiene ningún otro elemento.

De los axiomas de voluminosidad y de unión se infiere que para los conjuntos arbitrarios Ma y Mb el conjunto que satisface el axioma de unión es único. La unicidad fluye de lo anterior.[4]

Axioma de diferencia

Para los conjuntos arbitrarios Ma y Mb existe un conjunto, cuyos elementos son aquellos, y solo aquellos, elementos del conjunto Ma que no son elementos del conjunto Mb.

Análogamente, del segundo y cuarto axiomas se deduce que para dos conjuntos arbitrarios existe exactanente un conjunto que contiene los elementos del primer conjunto, no pertenecientes al segundo. Este conjunto se denomina diferencia de Ma y Mb y que se denota Mc = Ma - Mb[5]

Axioma de potencia

Para cada conjunto M existe una familia de conjuntos B(M) (booleano), cuyos elementos son todos los subconjuntos Mi, Mi ⊂ M, y solamente estos.[6]

Axioma de existencia del conjunto vacío

Existe tal conjunto ∅ que ningún elemento le pertenece.

Otras operaciones conjuntistas

Aunque las operaciones y los conceptos de la teoría de los conjuntos fueron elaborados intuitivamnete, la estructuración axiomática da la oportunidad de definir formalmente estos conceptos y operaciones de la teoría de conjuntos, apoyándonos en los seis axiomas presentados previamente. Con el auxilio de de unión y de diferencia, usando los axiomas introducidos , vamos a definir tres operaciones más sobre conjuntos.[7]

Intersección

Se define mediante la fórmula Ma In Mb = Ma -(Ma - Mb) donde In := intersección,

Se puede demostrar que los elementos de la intersección A In B son aquellos y únicamente aquellos que son elementos de Ma y además son elementos del conjunto Mb.

Complemento

Esta operación se define por la fórmula Mc = 1 - M , donde M es parte propia de1, el complemente es diferente de Ø (conjunto vacío) y 1, el conjunto universal.

Diferencia simétrica

Esta operación se establece usando la fórmula definitoria (Ma - Ma)U(Mb - Ma) .

La diferencia simétrica de dos conjuntos es la unión de las dos diferencias que se pueden determinar con los conjuntos dados.

Propiedades de operaciones

Empleando la axiomática introducida, se puede probar la validez de leyes que se aducen para determinar las propiedades de la signatura del álgebra de conjuntos: las leyes de «idempotencia», «conmutativa», «asociativa», «distributiva» «de operación con constantes », «de complemento doble», «leyes formuladas por De Morgan» y otras más presentadas a continuación:

  1. ley distributiva de intersección respecto a la diferencia
  2. ley conmutativa de diferencia simétrica
  3. ley asociativa de diferencia simétrica
  4. ley distributiva de intersección respecto a la diferencia simétrica
  5. leyes de encolamiento se puede obtener el conjunto M uniendo sus intersecciones con N y el complemento de este; de otra manera, intersecando la la unión de M con N y con el complemento de este.
M = (M In N)U (M In Nc).... M = (M U N) In (M U Nc)
  1. leyes de absorción
  2. leyes de Poretski. M U N = M U (N In Mc)...M In N = M In (N U Mc)

Referencias

Fuente bibliográfica

  • Gorbátov V. A. "Fundamentos de la matemática discreta" editorial Mir, Moscú.

Véase también