Cifra exacta

Cifra exacta

Cifra exacta. Un dígito d de un número x se dice que es un dígito exacto o una cifra exacta si el error absoluto de x es menor o igual que la mitad del valor posicional de d. Esto es, si

E(x) ≤½ p(d)

En caso contrario, la cifra d se dice que no es exacta.

Ejemplos

A continuación se dan varios números x aproximados. Determine en cada caso qué cifras de x son exactas.

1. x = 31,1416. Se sabe que x^* = π = 3,141592653..
   
2. x = 3,99999. Se sabe que x^* = 4
   
3. x = 4,20457. Se sabe que x^* = 4.20451
   
4. x = 0,00046384. Se sabe que E(x) = 0.000002
   
5. x = 23,01241. Se sabe que E_m (x)=0,04
   

Solución 1:

Antes que todo hay que hallar E(x) = |x^*-x| = |3,141592653-3,1415| = 0,00000734... Para determinar si una cifra d es exacta hay que comprobar si este error satisface que:
E(x) ≤½ p(d) En este caso, procediendo de izquierda a derecha, se tiene que:
E(x) ≤½p(3)= 0,5 ............3 es una cifra exacta
E(x) ≤½p(1)= 0,05...........1 es una cifra exacta
E(x) ≤½p(4)= 0,005.........4 es una cifra exacta
E(x) ≤½p(1))= 0,0005......1 es una cifra exacta
E(x) ≤½p(6)= 0,00005.....6 es una cifra exacta

Por razones didácticas se ha procedido analizando todos los dígitos de izquierda a derecha, pero resulta obvio que habría bastado probar que la cifra 6, que es la de menor valor posicional era exacta para afirmar que ella y todas las que se encuentran a su izquierda son exactas. En resumen en este caso los 5 dígitos del número x son exactos.
En este caso es E(x) = |x^*-x|= |4-3,99999|=0,00001

Solución 2:

Si d representa al quinto 9 de x, ½p(d) = 0,000005 y no se satisface E(x) ≤½p(d) Si d representa al cuarto 9 de x, ½ p(d) = 0.00005 y se satisface E(x) ≤½p(d)

Como los demás dígitos de x poseen mayor valor posicional, ellos también serán exactos. En resumen, en este caso las cifras exactas de x son las que aparecen subrayadas a continuación: 3.99999. El último 9 no es una cifra exacta

Solución 3:

Como se conoce x^*, se puede calcular el error absoluto: E(x)=|x^*-x|= |4,20451 -4,2O457| = 0,00006 El dígito 4 que se encuentra en las milésimas tiene valor posicional 0,001. Se cumple que: E(x) ≤½p(4)) = 0,0005 las milésimas y todas las cifras que aparecen a su izquierda, son exactas. En cuanto al dígito 5, que aparece en la cuarta cifra decimal: E(x) ≤½p(5) = 0,00005 El dígito 5 y con mayor razón, el 7 que aparece a su derecha son cifras no exactas. Como resumen a continuación aparecen subrayadas las cifras exactas del número x: 4,20457

Solución 4:

En este caso se ilustra el hecho de que no es necesario conocer el valor exacto x^* para determinar los dígitos exactos de x basta conocer el error absoluto. Cómo el error contiene un 2 en la sexta cifra decimal está claro que la sexta cifra de x no puede ser exacta. Considérese el 6 que se halla en el quinto lugar decimal, su valor posicional es p(6) = 0.00001 y se cumple que: E(x)= 0.000002 ≤½p(6)= 0,000005 Se concluye que son exactas las cifras 6 y las que se encuentran a su izquierda, las que aparecen subrayadas a continuación 0,00046384

Solución 5:

En este caso se desconoce el error absoluto de x, solo se tiene el error absoluto máximo, que es una cota superior del error absoluto. No obstante, esa información resulta útil: indica que el error absoluto podía llegar a ser 0,04. En ese caso, es evidente que la segunda cifra decimal (un 1) pudiera no ser exacta. En cuanto al dígito que se halla en el primer lugar decimal se cumple que:

E(x) 0,04≤½p(0)= 0,05 De modo que este dígito 0 es una cifra exacta y, con mayor razón, las que se encuentran a la izquierda. Estas cifras exactas se muestran subrayadas a continuación: 23,01241 Como el valor preciso del error absoluto no se tiene en este ejemplo, los dígitos que no aparecen subrayados tienen un carácter desconocido y pudieran ser exactos o no; usualmente a estas cifras se les llama dudosas.

Fuentes

MATEMÁTICA NUMERICA II EDICIÓN, Manuel Álvarez, Alfredo Guerra, Rogelio Lau