Cubo de Hilbert

El cubo de Hilbert, en topología general, es un espacio topológico que nos depara un caso explicativo de ciertos conceptos topológicos. Además, muchos espacios topológicos de importancia se pueden incluir en el cubo de Hilbert; esto es, los consideraríamos como subespacios del cubo de Hilbert. Es un objeto matemático ligado nominalmente y por su trabajo al matemático alemán, David Hilbert.

Definición

El cubo de Hilbert se define mejor como el producto topológico de los intervalos [0, 1 / n] para n = 1, 2, 3, 4, ... Es decir, es un cuboide de dimensión infinitamente contable, donde las longitudes de Los bordes en cada dirección ortogonal forman la secuencia (a_n) para n, número natural.

El cubo de Hilbert es homeomórfico al producto de innumerables copias del intervalo de unidades del intervalo cerrado [0, 1]. En otras palabras, es indistinguible topológicamente del cubo unitario de dimensión infinitamente contable. Si un punto en el cubo de Hilbert esta especificado por una secuencia (a_n) con 0 ≤ a_n ≤ 1/n, entonces un homeomorfismo al cubo de unidad de dimensión infinita es dado por (a_n) con 0 ≤ a_n ≤ 1/n.

Como producto numerable de intervalos

I^N = [1;1]×[1; 1/2]×[1; 1/3]×...×[1; 1/n], donde el primer miembro es el símbolo del cubo de Hilbert.

Propiedades

• El cubo de Hilbert está conectado y conectado , porque estas propiedades se transfieren a espacios producto.
• El cubo de Hilbert es un espacio compacto de Hausdorff , como se deduce directamente del teorema de Tychonoff .
• El cubo de Hilbert es metrizable
• Como todos los espacios compactos y metrizables, el cubo de Hilbert es separable y satisface el Segundo Teorema de la Contabilidad (y, por lo tanto, también el Primer Teorema de la Contabilidad
• Como producto de los espacios compactos de Hausdorff, el cubo de Hilbert es en sí mismo un espacio compacto de Hausdorff como resultado del teorema de Tíjonov. La compacidad del cubo de Hilbert también se puede probar sin el Axioma de elección mediante la construcción de una función continua a partir del Cantor habitual. puesta en el cubo de Hilbert.

Fuentes

• Kasimierz Kuratowski: Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología
• James R. Munkres: Topología, Pearson Prentice Hall, Madrid -2008