Ecuación algebraica cúbica

Ecuación algebraica cúbica. Nombra a una de las clases de ecuaciones algebraicas con una incógnita es aquella de grado tres[1]. Se sabe que en forma aislada algunas de las cúbicas se hayan resuelto en babilonia, India, China y Grecia. pero no se disponía deuna fórmula como la hay para las ecuaciones cuadráticas. En el Renacimiento europeo hubo interés de inventar una fórmula, la que consiguió Tartaglia, pero que la publicó Cardano,en su obra Ars Magna, desatando una polémica entre los expertos por la autoría del invento [2]. La posibilidad de su solución abrió la puertas de un nuevo conjunto, el de los números complejos; apareciendo la llamada unidad imaginaria, o sea la raíz cuadrada de -1. Y colateralmente, Galois, dio el genial aporte de la teoría de grupos, como también Abel: que no hay fórmulas para ecuaciones de grado no menor de 5.

Forma canónica

ax3 +bx2 +cx +d = 0
siendo a,b,c,d.números racionales y a ≠ o

Raíces

Si hablamos de una ecuación con coeficientes enteros, existe por lo menos una raíz real, las otra pueden ser reales o complejas conjugadas.

Resolución

La ecuación completa mónica y3 +ay2 +by +c = o se lleva a la forma reducida haciendo y= x -a/3, sale

x3 +px +q = 0 (I)

Por el teorema fundamental la ecuación (I) tiene tres raíces complejas. sea k una de las raíces . Tomemos una incógnita auxiliar u y analicemos el polinomio

f(u) = u2 -ku -p/3
sus coeficientes son complejos y las raíces por la fórmula de Vieta satisfacen:
α+β =k
αβ=-p/3 (II)que poniendo en (I) da
(α+β)3 +p(α+β)+ q = 0, a su vez
α3+ β3 +(3αβ+p)( α+β)+ q = 0
Pero 3αβ+p = 0; reultado que conlleva
α3 + β3 = -q
Por otro lado de (II) se deriva
α3β3 = -p3 /27
Los resultados anteriores muestran que
α3 y β3 son raíces de la ecuación cuadrática
z2 +qz -p3 /27 = 0 resoviendo se obtiene
z =-q/2 ±(q2 +p3 )0.5
De lo cual hallamos:
α = ( -q/2 +(q2 +p3 )0.5 )1/3, β = ( -q/2 -(q2 +p3 )0.5 )1/3
u es la suma α+β, haciendo combinaciones adecuadas con las tres raíces posibles de α y de β se obtiene los valores de u.

Así se llega a la fórmula de Tartaglia-Cardano, que en la práctica se usa.

Véase además

Referencias

  1. Kúrosch: Curso de Álgebra Superior Editorial Mir, Moscú, varias ediciones
  2. Bell: Historia de las matemáticas

Fuentes

  • Curso de álgebra superior de Kúrosch
  • Teoría de Ecuaciones de Uspensky
  • Álgebra superior de Hall & Knight

Nexos externos