Espacio topológico

Espacio topológico Concepto: Estructura matemática que permite la definición formal de conceptos como convergencia, conectividad, continuidad, vecindad, usando subconjuntos de un conjunto dado.

Espacio topológico. Generalización de espacio métrico que sirve para estudiar, básicamente, los problemas de continuidad de funciones definidas en espacios toopológicos y acudiendo al uso de abiertos en sus respectivas topologías. La definición de este último concepto, generalmente, se hace de manera axiomática.

Definición

Dado un conjunto X no vacío, con una familia de subconjuntos de X, previamente, se construye una topología T, usando dichos subconjuntos con los siguientes axiomas:

• T1. X y el conjunto vacío {} son elementos de T.
• T2. Cualquiera unión de elementos de T es un elemento de T.
• T3. La intersección finita de elementos de T es también miembro de T.

En estas condiciones , el par (X,T) se denomina espacio toplógico, y a los miembros de T se los nombra " abiertos del espacio topológico" (X,T).

Ejemplos

• Sea el conjunto X = {a, b, c} , y T = {{}, {a}, {b}, {a,b}, X}, entonces (X, T) es un espacio topológico.
• Para cualquier conjunto X no vacío , {{}. T} se llama la topología trivial de X.
• La colección de todos los subconjuntos de X, es una topología de X, llamada topología discreta de X.
• En la llamada topología usual de la recta un subconjunto A de números reales es abierto si para todo elemento x de A, existe un intervalo abierto tal que x es elemento de dicho intervalo que queda contenido en el conjunto A.
• Dado el conjunto X= {0,1} la familia de subconjuntos de X, T= {{},{0}, X} se llama la topología de Sierpinski y el par (X,T) se denomina el espacio de Sierpinski.
• la familia {(p,+∞)/ p es n.real} unión {R, {}} es una topología sobre el conjunto R de los números reales, llamada topología de las colas a derecha
• Dado X un conjunto finito, la familia {A^c es finito/ A parte de X} unión {conjunto vacío} es una topología sobre x, que se llama la topología de los complementos finitos.

Definición 2.

Espacio topológico es un conjunto X no vacío en el que se ha definido un operador llamado clausura, mediante el cual a cada subconjunto K de X se le asigna otro Cl(K) con las siguientes condiciones:

1. Cl ( A U B) = Cl(A) U Cl(B). La clausura de una unión es la unión de las clausuras
2. A es parte de Cl(A). Cualquier conjunto de X es parte de su clausura.
3. La clausura del conjunto vacío es el conjunto vacío.
4. Cl(Cl(A)) = Cl(A). El operador clausura aplicado dos veces a un conjunto es igual al operador aplicado una vez.

El matemático soviético Pontriaguin define espacio topológico usando las condiciones 1 y 4 de Kuratowski y en vez de las otras, propone la condición:

P3. Si A es un conjunto unitario, su clausura es el mismo conjunto. Cl{a} = {a}. La condición del conjunto vacío la presenta como una proposición que se demuestra.

Comparación de topologías

Sean X un conjunto no vacío y T₁ y T₂ dos topologías sobre X. Diremos que T₁ es menos fina que T₂ siempre que T₁ sea parte de T₂. La familia T₁ tiene menos conjuntos que la familia T₂

La topología indiscreta sobre X es menos fina que cualquiera otra topología sobre X. Una topología cualquiera sobre X es menos fina que la topología discreta sobre X. Como la comparación de topologías se basa en la relación de inclusión de familias de conjuntos, puede ocurrir que no sea posible comparar algún par de topologías sobre X.

Conjunto cerrado

Sea el espacio topológico X, y F un subconjunto de él, diremos que C es un conjunto cerrado si su complemento respecto a X, F^c es un abierto de de X.

Como ejemplo, el intervalo cerrado [c,d], c<d, en el conjunto de los números reales con la topología usual es un conjunto cerrado, pues la unión de sus complementos (-∞, c), (d,+∞) es conjunto abierto, por ser la unión de numerable de los intervalos (d, d+ n), donde n es entero positivo, es conjunto abierto, como también el conjunto (c-n, c) . .

• Hay conjuntos de los reales, con la topología usual que no son ni cerrados ni abiertos, como el conjunto Q de los racionales y el conjunto Q^c de los irracionales. De igual manera los intervalos (a,b] y [a,b).
• Hay conjuntos que son cerrados y abiertos a la vez, tal el caso del conjunto R de los reales y del conjunto vacío.

Proposición

Los conjuntos X, {}, la unión finita de conjuntos cerrados y la intersección cualquiera de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado..

Interior de un conjunto

Sea b un elemento de un conjunto H y es parte de X. Diremos que b es punto interior de H, si existe un abierto W del espacio X, tal que b esté en W y esté esté contenido en X. Al conjunto de todos los puntos interiores de H , se llama interior de H y se denota: H^º.

Como ejemplos, con la topología usual de la recta, el ineterior de el intervalo abierto (c,d) es el mismo conjunto ; el interior de los intervalos (c, d], [c,d,), [c, d] es el intervalo (c,d).

• El interior del conjunto Q de los números racionales, con la topología usual de R es el conjunto vacío., pues para cualquier racional q, el intervalo (q-1/n, q+1/n) no está contenido en Q.
• El conjunto Z de todos los enteros es un conjunto cerrado.

Proposición

• El interior del conjunto H es la unión de los abiertos contenidos en H.
• El interior del conjunto H es parte de H, en cualquiera topología X que contiene a H.
• Si H es parte de K, entonces el interior de H es parte del interior de K.
• Un conjunto H es abierto si es igual a su interior, esto es, H = H^º.

Clausura de un conjunto

Clausura o adherencia´del conjunto A de un espacio X, es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen al conjunto A. Se denota Cl(A). A la clausura se le conoce también con el nombre de adherencia., cierre o cerradura, según los autores.

• La clausura de los intervalos finitos , de extremos a y b, de la recta con la topología usual es el intervalo cerrado [a,b] .
• La clausura del conjunto del conjunto S= (2,5] U{6}U[7,9) = [2,5]U {6}U [7,9].
• La clausura del conjunto Q de todos los racionales y del conjunto Q^c de todos los irracionales es el conjunto R de todos los reales. Pues dado el real x cualquiera , existe un abierto (x- ε; x+ε) para el real ε > 0, de modo que V intersección Q ≠ {}. Luego x está en la clausura de Q, y por cierto Cl(Q) = R.

Proposiciones

• La clausura de un conjunto A de un espacio X es un conjunto cerrado, pues es una intersección de cerrados que contienen A.
• Cabe la ordenación Int(A) ⊂ A ⊂ Cl(A).
• Cuando G ⊂ H, entonces Cl(G ) ⊂ CL(H).
• Un conjunto es cerrado si sólo si es igual a su clausura. Esto es, A = Cl(A). De modo que la clausura de los números enteros, en la topología usual de los reales, es el mismo Z de los enteros. Tambien la clausura de {x} es el mismo conjunto. Cl{x} = {x}

Exterior de un conjunto

Un punto e se llama punto exterior del conjunto A de un espacio X, si existe una abierto W, tal que e es elemento de W, y este es parte del complemento de A= X\A. El conjunto de todos los puntos exteriores de A se llama exterior de A y se denota Ext(A).

Como ejemplos:

• Ext[a,b] = (-∞, a) ∪ (b, +∞)
• Ext (B(P; r)) = {y/ y está en R², d(y,P) >= r}. El exterior de la bola abierta de centro P, radio r -real positivo- es el conjunto de los puntos del plano cuya distancia a P no es menor que r.

Frontera de un conjunto

Un punto y es punto frontera del conjunto A de un espacio X, si todo abierto V que contiene a y, contiene algún punto del interior de A, como del exterior de A. Al conjunto de los los puntos frontera de A se llama frontera de A y se denota Fr(A).

Como ejemplos:

• La de la bola abierta de centro P, radio r -real positivo- es el conjunto de los puntos del plano cuya distancia a Pes igual a r. Con otras palabras la frontera de tal bola es la circunferencia de radio r, centro en P. Según topología usual del plano que usa como bolas abiertas. Un conjunto A es abierto. si para cualquiera de sus puntos existe una bola abierta con centro en dicho punto y radio apropiado que esté contenido en A.
• La frontera del intervalo (5, 9] es el conjunto {5,9}

• La frontera del conjunto A, parte del espacio X, es la intersección de la clausura de A con la clausura de su complemento X \ A.

Punto de acumulación

Sea M un conjunto del espacio X y p' un punto del espacio y V un abierto que contiene p. Se dice que p es punto de acumulación de M, si la intersección de V\{p} con M es no vacía. El conjunto de los puntos de acumulación se llama conjunto derivado de M y se denota Der(M).

Un ejemplo clásico y recurrente es el siguiente. Sea K el conjunto de los inversos de los enteros positivos, K ={1/n: n es entero positivo}. El punto de acumulación de K es 0; pues en (-r,r)\{0} ∩ K siempre hay un elemento de K, r es real positivo tan pequeño como se quiera.

• Otro ejemplo, sea A= {3} U (5; 9), su conjunto derivado es Der(A) = [5; 9]

Fuentes

• https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_topol%C3%B3gico
• M. Garcia Marrero y otros: Topología general. Editorial Alhambra, Madrid (1975) ISBN 84-205-0557-9 (obra completa)
• James R. Munkres: Topología. Pearspn Prentice Hall, Madrid (2008) ISBN 978-84-205-3180-9
• Ayala y otros. Elementos de topología general ISBN 84-7829-006-0
• Kolmogórov & Fomín. Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional. Editorial MIR, Moscú - 1972, traduución del ruso de Carlos Vega, impreso en URSS.

Véase también

• Espacio de Hausdorff