Estructura algebraica

Estructura algebraica o sistema algebraico, en matemáticas o particularmente en álgebra abstracta, es un conjunto no vacío con una o más operaciones.

Definición 1.

Una aplicación s: Hn → H se llama operación algebraica n- aria en el conjunto H no vacío. En el caso de n = 1, se llama operación unaria o monádica y cuando n = 2, operación binaria, para n = 3 tenemos operación ternaria

Ejemplos

operaciones unarias
  • En el conjunto de los números naturales, sig(n), es una operación unaria
  • en el conjunto de los reales, el signo de x es una operación unaria
  • en el conjunto de la matrices cuadrada, la traza de una matriz es un operación unaria
  • en un grupo algebraico multiplicativo inverso de x = x =-1
operaciones binarias
  • En los números reales, la adición
  • en los números complejos, la multiplicación
  • en la funciones reales continuas la composición
Operación ternaria
  • el producto mixto de vectores en R3

Definición 2.

Un conjunto H con las operaciones algebraicas s1, s2, ..., sn definida en él se llama estructura algebraica < H, s1, s2, ..., sn >

Ejemplos

  • Monoide con una operación binaria
  • semigrupo con una operación
  • grupo con una operación unaria y otra binaria
  • anillo con una operación unaria y dos binarias
  • cuerpo con dos unarias y dos binarias.

Elementos importantes

Elemento identidad
  • Si en un conjunto H, con una operación binaria §, hay un elemento e que para todo elemento a de H, resulta a§e = a el elemento e se llama elemento identidad.
Ejemplos:
  • en el conjunto de los enteros pares 2Z, con la adición, el 0 es elemento identidad. 2Z con la multiplicación no tiene elemento identidad.
  • El conjunto de los enteros impares 2Z +1, con la multiplicación, tiene elemento identidad =1. El conjunto de los enteros de la forma 4k+1 tiene elemento identidad = 1.
  • En el conjunto (Q\0)× Q se ha definido la operación (x,y)₰(s,t)= (xs, ys+t), entonces el elemento identidad es (1, 0).
Elemento inverso
  • Si en un conjunto H, con una operación binaria §, para cada elemento a de H, existe el elemento a', se dice que este el elemento inverso ( o simétrico) de a.
Ejemplos
  • en el conjunto de los enteros pares 2Z, con la adición, el simétrico de p es -p; 2Z con la multipicación no tiene simétrico para ningún par.
  • el conjunto de los impares con el producto no tiene inverso para ningún impar.
  • en el conjunto (Q\0)× Q se ha definido la operación (x,y)₰(s,t)= (xs, ys+t), entonces el elemento inverso de (x; y) es (1/x, -y/x).

Fuentes

  • Fraleigh: álgebra abstracta
  • M. l. Krasnov y otros: Curso de matemáticas superiores 11, Editorial URSS, Moscú 2010