Forma bilineal

Forma bilineal, en matemática y específicamente en álgebra lineal, no es sino la expresión de una función bilineal en una base fija.

Función bilineal

Una función de dos variables B(s,t) definida en un espacio vectorial E se llama bilineal si es respecto a t para s fijo y es lineal respecto a s para t fijo.

es decir, si B(s,t) es una función bilineal ocurre lo siguiente:

• B(s+t, r) = B(x,r) + B(t,r)
• B(as, t) =aB(s,t)
• B(r, s+t)= B(r,s) + B(r,t)
• B(s, at) = aB(s,t)

para todos los s,t, r de E y todo número real a

Ejemplo

el producto escalar ( s,t) es un ejemplo de función bilineal.

• Hallemos la expresión de una función bilineal en coordenadas, sea e₁, e₂,...,e_n una base del espacio e y sea

t= t₁e₁ + t₂ e₂+...+s_ne_n y

s = s₁e₁ + s₂ e₂+...+s_ne_n

En esas circunstancias

• B(s,t) = B ( s₁e₁ + s₂ e₂+...+s_ne_n, t₁e₁ + t₂ e₂+...+t_ne_n) = Sumatoria de s_it_jB(e_i, e_j) = sumatoria de b_ijs_it_j , con 1≤i,j ≤n.

Forma bilineal

Observemos que los coeficientes b_ij = B(e_i, e_j) dependen sólo de la base y no depenten de s y t. Por lo tanto, en una base fija, una función bilineal se represenat por una forma bilineal, esto es, mediante una sumatoria de b_ij s_it_j.

• La matriz B = [b_ij] se llama matriz de una forma bilineal

Fuentes

• Goloviná: Álgebra lineal y algunas de sus aplicaciones editorial Mir, Moscú- 1980, segunda edición

Véase además

• Función lineal
• Matriz
• Coordenadas