Función determinada ímplicitamente por una ecuación
Supongamos que los valores de las variables x, y se hallan vinculados por una ecuación que breve y simbólicamente se escribirá
- H (x; y) = 0 →(1)
Si la función y =φ(x) definida en cierto intervalo < a; b > y al reemplazar a y en (1) , la ecuación se convierte en una identidad respecto a x, se llama función implicitamente determinada por una ecuación ; en este caso po H(x;y). [1]
Ejemplos
- 2x +3y -5 = 0.
- 9x2+ 4y2 - 36, → (2), que determina implicitamente las dos siguientes funciones:
- y = 0.5(36-9x2)0.5
- y = -0.5(36-9x2)0.5
.. estas ecuaciones se han obtenido resolviendo la ecuación (2).
Sin embargo, hay casos en que no se puede resolver la ecuación propuesta:
- x -8y = ex-y
- x2+y2 = sen (x+y)
- Las soluciones generales de muchas ecuaciones diferenciales ordinarias son ecuaciones que conllevan funciones implicitamente definibles, pero no explicitables. [2]
Derivación
- Ejemplo 1
Sea la ecuación x3 + y3 = 3axy, vamos a derivar considerando y = y(x) y usando la regla de la derivada de la función compuesta.
- 3x2+3y2y' = 3ay + 3axy' y finalmente
- y' = (ay-x2 )÷(y2 - ax)
- Ejemplo 2
Dada la ecuación sen x + cos y = a, hallar y', se tiene
- cosx + seny · y' = 0
- y' = cosx ÷ sen y
Véase además
Bibliografía
- Análisis matemático de Apostol
- Cálculo de Banach
- Análisis de Boss