Función exponencial compleja
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Función exponencial compleja. En Matemáticas y más específicamente Análisis Matemático es la versión de la función exponencial sobre el conjunto de los números complejos.
La misma se basa en la representación exponencial de los números complejos y su relación con la forma trigonométrica. Es de vital importancia en la formulación de otras funciones complejas como el logaritmo, las funciones trigonométricas complejas, las funciones trigonométricas hiperbólicas complejas y otras.
Sumario
Definición
A la función 
, x=a+bi, expresada en forma de cálculo por:
se le denomina función exponencial compleja y también se denota exp(x) donde x es un argumento complejo.
Propiedades
La definición antes vista, que no es otra que la relación entre las representaciones exponencial y trigonométricas de los complejos, cumple todas las propiedades que cumplía en los reales, excepto aquellas relacionadas con el ordenamiento porque los números complejos no son un conjunto ordenado. A saber:
- ex está definida para todos los complejos.
- ex+y=ex+y
- (ex)y=exy
- Para todo complejo z=aebi su conjugada es ae-bi.
Importancia
La ley de Euler establece un importante vínculo entre la trigonometría y el cálculo, al asociar la exponenciación de la parte imaginaria compleja con la representación de un complejo cuyo módulo es 1.
Esta es la base para la representación exponencial de complejos y como base demostrativa para la Ley de Moivre; sin excluir el hecho de clarificar el procedimiento para exponenciar complejos, calcular raíces, determinar logaritmos de argumentos negativos y facilitar el trabajo del cálculo computacional de las funciones trigonométricas.
Desarrollo en series potencias de Taylor
Cuando por ejemplo se desarrolla la exponenciación en series de potencias de Taylor tenemos:
pero en el caso de un exponenciacion con un imaginario ix, la expresión previa quedaría:
se agrupan las partes reales e imaginarias como sigue:
(1)
Relación con la trigonometría
Como se ve en la fórmula (1) del epígrafe previo al asociar en el desarrollo de Taylor de eix las expresiones reales con el coseno y las imaginarias al seno, debido a la ley de Euler se obtiene:
siendo de gran ayuda para el cálculo numérico de los valores de cualquiera de ellas y para su implementación computacional.
De manera más compacta estas relaciones pueden simplificarse:
De la misma manera pueden definirse las razones trigonométricas hiperbólicas complejas:
Logaritmos complejos
La notación exponencial de un número complejo:
nos permite determinar fácilmente su logaritmo neperiano mediante:
hasta finalmente quedar la fórmula:
(*)
que como vemos solo depende del conocido cálculo de un logaritmo neperiano de un real no negativo.
Logaritmos de reales negativos
Para determinar el logaritmo de un real negativo solo tenemos que recurrir a una pequeña argucia de cálculo. Y es que en términos de complejos todo real negativo -x puede expresarse por el producto (-1)x o mejor tenemos un módulo x (evidentemente x>0 si -x<0) por un complejo unitario -1+0i=cos b +isen b. El primer ángulo b que produce cos b =-1 y sen b=0 es 1800 o en radianes, 
.
Escribiendo todo en notación exponencial queda:
Entonces el logaritmo de -x se calcula mediante la expresión (*) como:
Exponenciación general compleja
Sea la función exponencial compleja generalizada:
- z=tx
donde t y x son una constante compleja y un número complejo cualquiera respectivamente.
Podemos reescribirla como:
- z=ex.ln(t)
Operaciones todas que se han visto definidas previamente.
Veáse también
Fuentes
- I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. Editorial MIR, Moscú. 1973.
- [1]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado 1 de diciembre de 2014.
- [2]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado 1 de diciembre de 2014.
- [3]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado 1 de diciembre de 2014.
