Grupo cíclico |
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 | | Concepto: | Un grupo es cíclico cuando existe un elemento que lo genera. Por ejemplo, el grupo cíclico de orden 3, Z3, está generado por a. |
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Un grupo es cíclico cuando existe uno de sus elementos que genera a todos los otros. Sea el grupo (A,•) donde A es un conjunto no vacío y • es la operación binaria para la que (A,•) tiene estructura de grupo (notación multiplicativa). Entonces, el grupo es cíclico si existe un elemento a de A (llamado generador) tal que A = { an=a•••a | n natural } [1].
Ejemplos [2]
- El grupo de los números enteros con la suma de números enteros (Z,+) es un grupo cíclico cuyo generador es el elemento 1. Por ejemplo, 2 = 1+1, 3 =1+1+1, 4=1+1+1+1, etc. Suele escribirse Z = <1>.
- El grupo cíclico de orden 2, (Z2, +) es el conjunto Z2 = { 0, 1 } , donde la operación + se define como 0+0 =0, 0+1=1, 1+1=0, 1+0=1. El elemento 1 es el generador del grupo y es de orden 2 y el elemento 0 es el neutro del grupo. Este grupo es abeliano. En notación multiplicativa, Z2 = <a | a2 = 1 > .
- El grupo cíclico de orden 3, (Z3, +) es el conjunto Z3 = { 0, 1, -1 } , donde la operación + se define como 0+0 =0, 0+1=1, 0-1 =-1, 1+0=1, 1+1=-1, 1-1=0, -1+0=-1, -1+1=0, -1-1=1 . El elemento 1 es el generador del grupo y es de orden 3 y el elemento 0 es el neutro del grupo. Este grupo es abeliano. En notación multiplicativa, Z3 = <a | a3 = 1 > .
Véase también
Referencias
- ↑ Oleg Vladimirovič Bogopolʹskij; Introduction to Group Theory, Volume 6 of EMS textbooks in mathematics, European Mathematical Society, (2008)
- ↑ Grupos cíclicos de orden 2 y 3, matesfacil.com
- ↑ Dipak Chatterjee; Abstract Algebra, PHI Learning Pvt. Ltd., (2005)
