Grupo resoluble (álgebra)
Grupo resoluble. En el álgebra abstracta, especialmente en la teoría de grupos, se llama así a un grupo que es miembro de una sucesión de subgrupos, que respetan un orden parcial y son útiles en la Teoría de Galois y en los análisis de resolución de ecuaciones algebraicas mediante fórmulas que involucren radicales y operaciones con los respectivos coeficientes.
Sea la sucesión de subgrupos normales
G → G(1) → G(2) → ... → G(k) → G(k + 1) → ... (2)
El grupo G se llama resoluble, si la sucesión (2) se detiene en el subrupo unidad, esto es G(m) = e para cierto índice mínimo de m grados de solubilidad del grupo G. Es notorio que todo grupo abeliano , entre estos también los cíclicos, es resoluble de grado 1. [1]
Conmutador
La expresión [x, y] = xyx-1y-1,
se llama conmutador de los elementos x, y del grupo G, se usa de términbo corrector, cuando hay necesidad de alterar las ubicaciones de de x e y:
xy = [x,y]xy
Cuando x e y son permutables, resulta que el conmutador es e; [x,y] = e
Conmutante
Sea L el conjunto de todos los conmutadores en G. Se llama conmutante ( o subgrupo derivado) del grupo G el subgrupo G' := G(1) = [G,G] generado por el conjunto L.
- G' = <[x,y] / x, y están en G>.
Aunque el inverso de un conmutador es un conmutador, no siempre el producto de dos conmutadores es un conmutador. [2]
Proposición
Cualquier subgrupo K de G, que contiene al conmutante G' del grupo G es normal con respecto a G. El grupo cociente G/G' es abeliano y G' está contenido en cada subgrupo normal K, tal que G/K es abeliano ( el orden máximo de del grupo cociente abeliano G/K es igual al índice de G:G' ).
La resolubilidad del grupo S4 y de todos sus subgrupos, es la razón de solubilidad en radicales de las ecuaciones algebraicas de grado no mayor que 4.
Referencias
Fuentes
- Álgebra de Serge Lang, Aguilar Ediciones S. A. Madrid, 1973
- Introducción al álgebra de Kostrikin, Editorial Mir, Moscú, 1987
- Grupos Continuos de L. S. Pontriaguin, Editorial URSS, Moscú, 1994, pág 31
Páginas vinculadas
- Grupo
- Conmutatividad
- Teoría de Galois