Inecuación con logaritmo

En las inecuaciones de una variable que se estudia en el álgebra, tenemos dos tipos: las algebraicas y las trascendentes. Las primeras son del tipo P(x) > 0 ( o bien. P(x) < 0, P(x) ≤, P(x) ≥ 0), donde P(x) es un polinomio de grado no menor de 1. Las más conocidas son las de primer grado y las de segundo grado. Además las inecuaciones racionales y las irracionales. Entre las trascendentes están las inecuaciones exponenciales, logarítmicas y las trigonométricas. Nuestro interés temático se orienta a una inecuación logarítmica .

Definición

La inecuación que contiene la incógnita en el número cuyo logaritmo y base de sistema se conocen: log_a [f(x)] = p, siendo a un número real positivo ≠ 1, f > 0; a su vez p es cualquier número real. Pero se puede asumir también la forma log _[f(x)] a = p, donde f es positiva, no 1, y a un número real positivo y p cualquier número real. De otra manera es la inecuación en la que la incógnia la incógnita parece s´po bajo el signo de logaritmo ( en particular en la base deun sistema de logaritmos)

Ejemplos

1. log₂ ( 2x -1) < 4
2. log_{(5x -7)} 729 ≥ 3.

Casos concretos

Inecuación 1.-

log₆ (4x+1) < log₆ 13

Resolución

Necesariamente 4x +1 > 0, implica x > -1/4 por definición de logaritmo.

Logarimo con base > 1 crece: 4x+1 <13, entonces x<3.

En base a las desigualdades elementales: -1/4 < x <3

Inecuación 2.-

log_1/5 (7t+1) < log_1/*5 (t-2)

Resolución

7t +1 >0

t-2 > 0

7t +1 > t-2

Como solución , únicamente se sirve t > 2.