Integración por el método cambio de variable

Integración por Cambio de variable Concepto: Cambios de variable recomendados para integrar por sustitución.

Integración por Cambio de variable. Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente.

Definición

Existen varios métodos de integración, consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una integral ya conocida, como por ejemplo una de las de la tabla, ó bien reducirla a una integral más sencilla.

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Queremos realizar la integral ∫ ƒ(x) dx donde ƒ no tiene una primitiva inmediata. Debemos buscar un cambio de variable que transforme la integral en una integral inmediata o composición de funciones. Entonces, para el cambio,

x = g(t)

dx = g′(t)dt

∫ ƒ(x) dx = ∫ f(g(t))g′(t) dt

De esta forma se ha transformado el integrando en función de la nueva variable t. Si la elección de la variable t ha sido acertada, la integral resultante es más sencilla de integrar. El éxito de la integración depende, en grado considerable, de la habilidad para elegir la sustitución adecuada de la variable.

Una vez obtenida la función primitiva, F(t) + C, se deshace el cambio de la variable substituyendo t = g (x).

Así se tiene la integral indefinida en función de la variable inicial x.

Ejemplos

1. Encuentre ∫ (3x − 5)⁴ dx

Solución. En este caso sencillo podemos observar que esta integral "se parece" a

∫ u⁴ du, lo cual nos sugiere tomar el cambio de variable u = 3x-5.

u = 3x-5 ⇒ du = 3 dx ⇒ dx = (1/3)du

Sustituyendo en la integral,

∫(3 x − 5)⁴ dx ==∫u⁴ du / 3 = ⅓∫ u⁴ du

=⅓(u⁵/5 ) + c = u⁵/15 +c=∫(3 x − 5)⁵/15 +c

2. Encuentre ∫ cos⁴x senx dx

Solución. En este caso la integral "se parece" a

∫ u⁴ du

lo cual nos sugiere tomar el cambio de variable u = cosx.

u = cosx ⇒ du = -senx dx ⇒ dx = -du

∫(cosx) 4 (senx dx) =∫(u⁴) (-du)=-∫u⁴ du= -(u⁵/5) + c

=-(Cos⁵x/5 ) + c

Fuentes

• Integración por sustitución o cambio de variable: método y ejemplos (Matesfacil.com)
• Integración por sustitución (Wikipedia.org)
• Método de cambio de variable (Vitutor.com)

Véase también

• Integración numérica
• Integral Definida
• Integral Indefinida
• Integración por parte