Intervalo (matemáticas)

Intervalos se llaman a conjuntos de números reales cuyos elementos x están entre dos números a y b, que satisfacen la condición a ≤ b. Estos son números reales o bien representan tendencia de crecimiento en forma positiva o negativa: simbolizados por +∞ o -∞

Intuitivamente imaginamos un hilo delgado y estirado , consideramos dos puntos donde cortamos el hilo: la pieza que obtenemos es la imagen de un intervalo finito, los puntos de corte pueden o no estar en la pieza. En el caso de tomar solo un punto y cortar, cualquiera de las piezas separadas es la imagen de un intervalo infinito, lo mismo que todo el hilo.

Componentes

• Extremos: a y b
• Interior formado por los puntos x tal que a < x < b
• Longitud es b-a
• Punto medio m=(a+b)÷2

Clasificación

Por la pertenecia de sus extremos

• abiertos
• cerrados
• semiabiertos

Por la longitud

• Finitos
• Infinitos

Notaciones

• Para los intervalos cerrados se usa []
• Para los intervalos abiertos (), < >, ] [
• Semiabiertos combinando los dos casos anteriores

Casos

1. [a, b] intervalo cerrado de longitud finita l = b - a. a ≤ x ≤ b.
2. [a, b[ o [a, b) intervalo cerrado en a, abierto en b (semicerrado, semiabierto), de longitud finita l = b - a. a ≤ x < b.
3. ]a, b] o (a, b] intervalo abierto en a, cerrado en b, de longitud finita l = b - a. a < x ≤ b.
4. ]a, b[ o (a, b) intervalo abierto, de longitud finita l = b - a. a < x < b.
5. ] - ∞, b[ o ( - ∞, b) intervalo abierto de longitud infinita. x < b.
6. ] - ∞, b] o ( - ∞, b] intervalo (semi)cerrado de longitud infinita. x ≤ b.
7. [a, +∞ [ intervalo (semi)cerrado de longitud infinita. a ≤ x.
8. ] a, + ∞ [ o (a, + ∞ ) intervalo abierto de longitud infinita. a < x.
9. ] - ∞, + ∞ [ o ( - ∞, + ∞ ) o R, intervalo a la vez abierto y cerrado, de longitud infinita. x pertenece a R.
10. {a} intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario. (corresponde al caso a = b). x = a
11. {} = ∅ el conjunto vacío, intervalo a la vez abierto y cerrado. x no existe.

Operaciones conjuntistas

• Se pueden realizar unión,intersección, diferencia y diferencia simétrica de conjuntos.
• Los resultados no son necesariamente conjuntos: <2, 5> unión <7,10> existe pero no es intervalo, lo mismo [1, 10] - [3, 7] es la unión de dos intervalos semiabiertos. [1, > unión <7,10]

Usos

• En el cálculo diferencial y el análisis matemático, se usa el intervalo abierto que contiene el punto de acumulación, caso de límite; o el punto donde se define la derivada.
• Cualquier tipo de intervalo para definir o hallar el dominio y codominio de una función real de variable real.
• En cálculo integral para hallar el dominio de una integral definida, o los límites de integración
• En topología usual de recta se usa el intervalo abierto para definir vecindad.
• En otra topología el intervalo semiabierto.

Fuentes

• Análisis matemático de Haaser- La salle y Sulivan, Editorial Trillas, Ciudad de México.
• Cálculo diferencial e integral de Piskunov, Editorial Mir, Moscú
• Intrducción a la topología general de Juan Horvath, ediciones de OEA. Wáshington D. C.