Método de inducción completa
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Método de inducción matemática conlleva una posibilidad de pruebas de ciertas proposiciones cuyas variables recorren el conjunto N de todos los números naturales. Las pruebas toman como pivote demostrativo el principio de inducción completa. Razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de una variable en que toma una infinidad de valores enteros no negativos.
Sumario
Dato histórico
- Inducción deriva de la voz latina inductio
- "Inducción matemática" aparece en un artículo escrito por Augusto de Morgan en 1938, inserto en la Enciclopedia Británica. Lo usó Todhunter, Wallis.
- Para esta herramienta se usó también la denominación "Principio de Bernoulli", Gauss escribía "eine bekannte methode". Jacobi lo nombraba "método de Kästner", Poincaré acudió a "récurrence".
- Este recurso fue "inventado" en muchas ocasiones; Euclides lo usaba en forma implícita; Pascal lo empleó en combinatoria y lo haya encontrado en trabajos de Maurolico. Jacob Bernoulli se autoconsideraba el inventor de esta herramienta de prueba matemática. [1]
Definición
Este principio sirve para demostrar propiedades que se cumplen para un conjunto numerable de objetos (Un conjunto A es numerable si existe una biyección de A en el conjunto de los números naturales). Generalmente se usa la notación A(n), B(n), C(n), P (n), … para denotar estas propiedades.
Principio
El principio de inducción completa, en que se basa el método del mismo nombre, consiste en:
- 1ro. Probar que la propiedad se satisface para un primer número natural (P (a) es verdadera para a perteneciente a N).
- 2do. Probar que siempre que un número natural cualquiera satisfaga la propiedad, su sucesor también la satisface.(De P (k) se deduce P (k+1)).
Ejemplo
Demuestra por Inducción completa que para todos los números naturales n se cumple: 0 + 2 + 4 +…+ 2n = n(n + 1). Sea S(n) = 0 + 2 + 4 +…+ 2n. Se debe probar que S(n) = n(n + 1).
Inicio de Inducción: Para n = 0: S (0) = 0(0 + 1) = 0 La propiedad es verdadera para n = 0.
Hipótesis de inducción: Para n = k : 0 + 2 + 4 +…+ 2k = k(k + 1).
Tesis de inducción: Para n = k +1: 0 + 2 + 4 +…+ 2(k+1) = (k + 1)(k + 2).
Demostración de la tesis de inducción: Se debe probar que S (k)= k(k + 1) => S (k+1)= (k + 1)(k + 2) Partiendo de la hipótesis: 0 + 2 + 4 +…+ 2k = k(k + 1) Sumemos el término 2(k +1) a ambos miembros de la igualdad: 0 + 2 + 4 +…+ 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) Debemos analizar si en el miembro derecho la expresión: k(k + 1) + 2(k + 1)es la misma que (k + 1)(k + 2) 0 + 2 + 4 +…+ 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) 0 + 2 + 4 +… +2k+ 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2) extrayendo factor común (k+1) Luego, la propiedad se cumple para todo n que pertenece a N.
Pruebas en la Teoría de números
Demuestra por inducción completa que para todo numero natural n 3n – 1 es divisible por 2.
Inicio de inducción: Para n = 0 ; 30 – 1 = 1 – 1 = 0 no se cumple la propiedad. Para n = 1, 31 – 1 = 2 es divisible por 2. Se cumple la propiedad. Elaborar de conjunto con los alumnos que si un número es divisible por 2, entonces es de la forma 2x, con x que pertenece a N.)
Hipótesis de inducción: Para n = k : 3k – 1 = 2x.
Tesis de inducción: Para n = k + 1: 3k + 1 – 1 = 2.
Demostración de la tesis de inducción: 3k – 1 = 2x Multiplicando por 3 ambos miembros, tenemos: 3·3k-3 = 6x
3k+1 = 3 + 6x
3k+1 = 2 + 1 + 6x
3k + 1 – 1 = 2 + 6x
3k + 1 – 1 = 2 (1 + 3x)
3k + 1 – 1 = 2 y luego 3n – 1
Es divisible por 2 para todo n que pertenece a los números naturales distintos de cero.
Referencias
- ↑ N. V. Alenxándrova: Diccionario histórico de notaciones, términos y conceptos de las matemáticas Editorial URSS, Moscú 2015
