Matriz diagonal

Matriz diagonal Concepto: Matriz cuadrada cuyos elementos son cero a excepción de los de la diagonal principal.

Matriz diagonal. Denominación de la matriz cuadrada de orden n cuyos elementos, excepto al menos uno de la diagonal principal, son cero.

Un caso especial e importante de la matriz diagonal de orden n es la matriz identidad.

Es de gran utilidad en las aplicaciones lineales pues reducen notablemente el cálculo a una simple multiplicación directa.

Definición

Sea A una matriz cuadrada de orden n, se dice que es una matriz diagonal si todos sus elementos satisfacen que:

• Para 1≤ i, j≤n, i ≠ j se tiene a_i,j=0.
• Existe i=1..n tal que a_i,i≠0

Es decir a excepción de al menos uno en la diagonal principal todos sus elementos son nulos.

Esto convierte en particularidad el caso de que todos los elementos de la diagonal principal sean no nulos y en especial, el caso cuando todos los elementos de la diagonal principal son 1 la matriz diagonal es nombrada la matriz identidad de orden n, denotada por I_n; llamada también matriz uno

Propiedades

Sea una matriz diagonal A de orden N se cumple entonces:

• A=I_N si:
  • Para todos i=1..N e j=1..N e i≠j, a_i,j=0.
  • Para todo a_i,i=1
• |A|=a_1,1a_2,2...a_n,n
• Una matriz cuadrada de orden N es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene N vectores propios linealmente independientes. Dicha matriz se dice que es diagonalizable.
• Los elementos a_i,i con i=1..N son valores propios de A.
• Si existe el producto matricial C=AB con B de NxM los elementos de C serán de la forma c_i,j=a_i,ib_i,j para i=1..N e j=1..M.
• Si existe el producto matricial C=BA con B de MxN los elementos de C serán de la forma c_i,j=b_i,ja_j,j para i=1..M e j=1..N.

Importancia

La simplificación operatoria de las matrices hace que sean muy deseables en el caso de la representación o modelación de transformaciones lineales en el álgebra lineal y en ecuaciones diferenciales. El llevar una matriz cuadrada a su similar diagonal es un recurso de simplificación de todo tipo de cálculo matricial.

Véase también

• Matriz cuadrada
• Matriz identidad
• Vector propio
• Valor propio

Fuentes

• Colectivo de Autores. Álgebra lineal. Editorial Félix Valera. 2003.
• K. Ribnikov. Análisis Combinatorio. Editorial Mir Moscú. 1988.
• Matriz diagonal. Consultado el 29 de agosto de 2017.