Morfismo de grupos

Morfismo Concepto: idea esencial a todos los aspectos del álgebra abstracta

Morfismo es una idea esencial a todos los aspectos del álgebra abstracta. Se señala con ello una aplicación de un sistema algebraico en otro sistema algebraico similar que mantiene la estructura . Y en el presente caso, es una aplicación de un grupo algebraico en otro o en sí mismo.

Una aplicación f de un grupo G en un grupo G' se dice que es un morfismo si para l, m cualesquiera elementos de G siempre resulta f(lm) = f(l)f(m).: Adviértase que en el primer miembro de la igualdad en la expresión f(lm), el producto mn se ejecuta en G, por otra parte en el segundo miembro el producto (l)f(m), es con elementos de G'.

Ejemplos

1. En el grupo multiplicativo Q⁺ de los racionales positivos la aplicación para todo t, f(t) = 1 es un morfismo trivial.
2. Sea G el grupo multiplicativo de los reales positivos y G' el grupo aditivo de los reales. Definamos la aplicación h: G → G' por h(x) = ln x. Se tiene que ln(xy) = ln + lny. H es un morfismo
3. Sea H el grupo aditivo de los enteros y H = H'. Para el entero t se define la aplicación k por k(t) = -3t; que k es un morfismo, más específicamente homomorfismo; se sigue de que k(s+t) = -3(s+t) = -3(s) +[-3t] = k(s) + k(t).
4. Sea G el grupo aditivo de los restos de enteros módulo 4 y G' el grupo multiplicativo de las raíces cuartas de 1, {1, -1, i, -i}; se define la aplicación f(0) = 1, f(1) = i, f(2)= -1, f(3)= -i. f( x+y)= f(x)f(y), f(0 + 3) = f(3) = 1f(3) = f(0)f(3).
5. Sea J el grupo multiplicativo de los reales, la aplicación m, de J en J, definida por m (x) = op (x) es un morfismo; pues op(xy)= op(x) op(y)
6. Sea M₂(R) el conjunto multiplicativo de las matrices reales inversibles de orden 2 y R el conjunto multiplicativo d de los reales, y sea h la aplicación de M₂(R) en R que asigna a cada matriz inversible su determinante. H es un morfismo pues h(LM) = h(L)h(M).

Diversidad de morfismos

Hay diferentes clases de morfismo, según la inyectividad, suryectividad y la presencia de dos grupos o si es uno solo. Asumen estos nombres y las caraterizacines necesarias:

• Morfismo. Sean G y G’ dos grupos, con sus operaciones denotadas multiplicativamente. Sea f: G → G’ una aplicación de G en G’. Se dice que f es un “morfismo de grupos” si para todo x, y de G se cumple f(xy) = f(x)f(y).
• Monomorfismo si f es inyectivo, cualesquiera a ≠ b (elementos de G) implica f(a) ≠ de f(b) (elementos de G')
• Epimorfismo si f es sobreyectivo, cuando para todo a’ de G’ existe a de G tal que f(a) = a’.
• Endomorfimo cuando G = G’
• Isomorfismo si f es monoformismo y epimorfismo. Se denota f:A Ismf B,
• Automorfismo f es un isomorfismo y G=G’

Empleo

• Para clasificar grupos u otros sistemas algebraicos; si son isomorfos se les considera el mismo grupo, por ejemplo: el grupo multiplicativo de las raíces de 1 y el grupo aditivo de los restos módulo dos.
• Para la definición de un R- modulo por representaciones.

Bibliografía

• Herstein: Álgebra moderna
• Kostrikin: Introducción al álgebra
• Pontriguin. Grupos continuos
• Álgebra moderna de Schaumm