Número primo pitagórico
| ||||
Número primo pitagórico. Es el número primo racional que se puede expresar como una suma de dos cuadrados perfectos.
Proposición
Según un teorema de Fermat los primos racionales de la forma 4k+1 se pueden expresar como la suma de dos cuadrados perfectos.
Respecto a 4, cualquier entero positivo puede asumir una y solo una de las formas: 4k, 4k+1, 4k+2 y 4k+3, las expresiones 4k y 4k+2 proporcionan números pares, por lo tanto no son primos; las 4k+1 y las 4k+3, sí deparan números primos, pero no siempre dan números primos- Por ejemplo 33, de la forma 4k+1 no es primo, tampoco 35 de la forma 4k+3.
O sea que 4k+1 es condición necesaria para ser primo.
Propiedades
Todo primo racional pitagórico no es primo gaussiano.
En efecto, un primo pitagórico se puede expresar como n = a2 + b2 = (a+bi)(a-bi) = (b+ai)(b-ai) y por lo tanto es producto de enteros gaussianos.
- hay una infinidad de números primos pitagóricos
- no hay primos pitagóricos y gemelos
- hay la misma cantidad de primos pitágoricos que los números enteros.
Lista de primos pitagóricos hasta 101
- 5 = 22+12, es el mínimo de los primos pitagóricos, o de otro modo el primero.
- 13 = 22+32
- 17 = 42+12
- 29 = 52+22
- 41= 52+42
- 53= 22+72
- 61 = 62+52
- 73 = 32+82
- 89 = 52+82
- 97 = 42+92
- 101 = 102+12
Fuente
- Belskin: División inexacta
- Berman: Un Paseo por la teoría de números primos
