Números Naturales

Números Naturales
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Concepto:Números absolutos.

Números naturales. Sirven para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Historia

Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tablillas de barro empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme.
Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia antigua y en la antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos. El aporte de los mayas que manejaron un sistema vigesimal de numeración es un indicador del avance científico de la América precolombina.

En la introducción a la Aritmética del matemático griego, Nicómaco de Gerasa, se trata de la "serie natural". En una revisión que efectuó a tal obra, el filósofo neoplatónico romano, Boecio, se usa por ocasión primera la frase numeri naturalis. Leal a la raigambre griega consideró al uno "madre de todos los demás números"; pero sin adjudicarle al uno el estatus de número. El matemático galo, Cauchy, “probaba” que el conjunto de los números naturales era finito y “de esa manera, la ciencia nos conduce al mismo resultado que la fe”. El sentido que actualmente porta un número natural se debe a D'Alembert: sucesión infinita. [1]

Números naturales

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Los números naturales son los números que usamos para contar; uno, dos, tres, cuatro, etc. Les damos un nombre, “Números naturales” para distinguirlos de otros números, como “un medio”, “cuatro tercios”, “tres punto siete”, “menos cinco”; es decir, de los números fraccionarios (1/2), los números con punto decimal (3.7) y los números negativos (-5).

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {0,1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…} [2]

Como puede verse el cero no se incluye en el conjunto de los números naturales.

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales:

5 > 3;    5 es mayor que 3.

3 < 5;    3 es menor que 5.

Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.

Axiomática de Peano

Se consideran como conceptos primitivos o no definidos: 1, número natural y sucesivo.

1.- 1 (uno) es un número natural.
2.- Para cada número natural m existe un número natural llamado sucesivo y se denota S(m).
3.- Para todo número natural m, S(m) es diferente a 1.
4.- La ecuación S(m) = S(p) implica m=p.
5.- El conjunto de números naturales, que contiene 1 y para cada uno de m elementos, el elemento sucesivo S(m), contiene todos los números naturales. este axioma se

llama: Principio de inducción completa. [3].

La adición y la multiplicación de números naturales se definen por las ecuaciones

n + 1 = S(n)
m + S(n) = S(n + 1)
n * 1 = n
n * S(m) = n * m + n

Representación de los números naturales

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.

Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...
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Adición de números naturales, propiedades

 a + b = c

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

El resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.

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Asociativa

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

Conmutativa

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

Cancelativa

a + c = b + c implica a = b

Esta propiedad, ampliando, se puede expresar como

a + c = b +c si, sólo si a = b
Para relaciones de orden estricto
a + c < b +c si, sólo si a < b
a + c > b +c si, sólo si a >b
En caso de relaciones de orden amplio
a + c ≤ b +c si, sólo si a ≤ b
a + c ≥ b +c si, sólo si a ≥ b

Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro en el conjunto ampliado N 0 = {0,,2,..., n,...} , respecto de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

Resta de números naturales, propiedades

   a - b = c, decimos que c es la diferencia de a y b siempre que a ≥ b. A su vez a- b si, sólo si a = b+c.

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.

No es una operación interna:

La resta o sustracción es una operación parcialmente definida No siempre es posible restar dos números naturales y poder hallar otro número natural que represente la diferencia. Por ello, se extiende N al conjunto Z de todos los enteros y se los identifica con los enteros positivos y la resta es siempre posible para dos cualesquiera enteros positivos

      2 − 5 No pertenece al conjunto de los números naturales

No es conmutativa:

     5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación de números naturales y sus propiedades

Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.
a · b = c

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

Interna:

El resultado de multiplicar dos números naturales es otro número natural.

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 Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado.

(a · b) · c = a · (b · c)

Conmutativa:

"El orden de los factores no varía el producto".

a · b = b · a

Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación de números naturales, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a · 1 = a

Distributiva:

La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de los multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

División de números naturales

D : d = c

Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y, d, divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.

Tipos de divisiones

1. División exacta:

Una división es exacta cuando el resto es cero.

D = d · c

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15 = 5 · 3



2. División entera:

Una división es entera cuando el resto es distinto de cero.

D = d · c + r

Diventera.gif


17 = 5 · 3 + 2



Propiedades de la división de números naturales

1. No es una operación interna:

  El resultado de dividir dos números naturales no siempre es otro número natural.

  2 : 6

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no pertenece a los naturales

2. No es Conmutativa:

  a : b ≠ b : a

  6 : 2 ≠ 2 : 6

3. Cero dividido entre cualquier número es cero.

  0 : 5 = 0

4. No se puede dividir por 0.

  La división por cero es indeterminada, pues si fuera a : 0 = c, entoces a= 0×C se cumple para todo valor de c.

Potencias de números naturales

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.

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Base: La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5.
Exponente: El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4.


Propiedades de la potencias de números naturales

- Primerap.jpg

-  Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

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-  División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. 

-  Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

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-  Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.

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-  Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

-  Descomposición polinómica de un número.

Un número natural se puede descomponer utilizando potencias de base 10.

El numero 3 658 podemos descomponerlo del siguiente modo:


La radicación es una operación inversa de la potenciación [4] . Y consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.


En la raíz cuadrada, el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consiste en hallar un número cuando se conoce su cuadrado.

La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que elevado al cuadrado es igual al radicando: b² = a.
√9 = 3

La raíz cuadrada exacta tiene resto 0.

Cuadrados perfectos: Son los números que poseen raíces cuadradas exactas. 

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169,...

Raíz cuadrada entera: Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.

   Raizentera.jpg

Casos y ejemplos

Dado el número natural a, diremos que el número r, si existe. es raíz cuadrada de a y se escribe a0.5 = r, cuando a = r2

Por ejemplo la raíz cuadrada de 144 es 12, pues 144 = 122
En este perfil, solamente los números que son cuadrados perfectos tienen raíz cuadrada. Para obviar esta restricción se define la raíz cuadrada entera por defecto .
Diremos que r es raíz cuadrada entera por defecto de a si r2 < a < (r + 1)2. A la diferencia d= a- r2, se llama resto de la raíz cuadrada de a.
Como ejemplo ,la raíz cuadrada entera por defecto de 175 es 13, pues 132 < 175 < (13 +1)2, equivalentemente 169 < 175 < 196. a 175-169 = 6, se llama el resto de la raíz cuadrada entera por defecto de 175.
En el caso de 144/ 529 su raíz cuadrada es 12/23; sin embargo cuando se trata de otros números fraccionarios u otros enteros positivos, no siempre el resultado es un número racional. Un caso, de hecho histórico, se comprobó que la raíz cuadrada de 2 no es un número racional. ¿Por qué el interés de conocer y precisar la raíz cuadrada de 2? Pues si conocemos que el lado de un cuadrado es 1, se tiene que la longitud de la diagonal es, precisamente la raíz cuadrada de 2. Esto resulta de aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos son dos lados consecutivos del cuadrado y su hipotenusa es la diagonal del cuadrado. No hay una fracción que sea la raíz cuadrada de 2. De ahí surge el concepto de que la raíz cuadrada de 2 sea un número irracional. Se puede hacer aproximaciones decimales, pero no se alcanza la última cifra. En las tareas de trabajo aplicativo basta con cinco o seis cifras decimales. Una aproximación r.c. de 2 = 1.414213562... hasta mil millonésimos .

Véase también

Referencias

  1. N. V. Alexándrova Diccionario histórico de notaciones, términos y conceptos de las matemática. Editorial URSS, Moscú (2015)
  2. Por necesidad de escritura, como 10, 20, 100, el cero debe estar presente; y en la resta n-n= 0, que surge, tan naturalmente.
  3. Vicente Ampuero Aritmética Edición de UNMSM
  4. Dada la ecuación P = x n se trata de hallar el valor de x, se resuelve hallando la raíz n-esima; sin embargo, si P = a t , el valor de t se obtiene como log a P = t, que genera otra operación, con restricción de base ≠ 1

Fuentes