Potenciación

Potenciación Concepto: Operación aritmética que tiene por objeto hallar la potencia de un número

Potenciación. Es una operación que al par ordenado (a,n) le hace corresponder su potencia P. Siendo esta igual al producto del factor a por sí mismo n veces . Para abreviar la escritura, se escribe dicho factor y, en su parte superior derecha, se coloca el número de veces que se multiplica. Como no se trata de otra cosa que no sea una multiplicación, esta operación es siempre posible dentro del sistema de los números naturales.

Nomenclatura y notación

• A la segunda potencia de un número se le llama cuadrado, así 9 es el cuadrado de 3
• A la tercera potencia de un número se le denomina cubo, así 8 es el cubo de 2
• De 4 en adelante se dice cuarta potencia, quinta potencia, etc.

Generalizando: a x a x a x a………..n veces es la enésima potencia de a .

El número que se toma como factor se llama base y el número que indica las veces que hay que tomarlo como factor se llama exponente o grado. La operación se indica así:

• 2⁴, lo cual quiere decir que hay que tomar el 2 cuatro veces como factor. Es decir que: 2 x 2 x 2 x 2 = 16 o sea: 2⁴ = 16.

Generalizando: aⁿ indica que hay que hay que tomar el número a , n veces como factor. Es decir: aⁿ = a x a x a x a……… n veces.

Definición axiomática

1. a⁰ = 1
2. aⁿ⁺¹ = aⁿa.

Se ha definido aplicando el principio de la inducción matemática.

Se prueba que a¹ = a; en efecto:

a¹ = a⁰⁺¹ pues 1 = 0+1

a⁰⁺¹ = a⁰a, por la parte (2) de la definición.

a⁰a = 1(a) = a. Ya que a⁰ = 1, parte (1) de la definición.

Finalmente a¹ = a

Se cumplen también las propiedades:

1. a^h+k = a^ha^k
2. (a^h) ^k = a^hk. En todos estos casos a, n, h, k son números naturales

Lectura

En general, para leer una elevación a potencia que está indicada se lee la base, a continuación se dice elevado a... y después se lee el exponente.

Ejemplos:

• 2⁵ se lee dos elevado a 5.
• 3⁷ se lee tres elevado a 7.
• aⁿ se lee a elevado a n.

Sin embargo, cuando el exponente es 2 o 3, lo corriente es leer respectivamente elevado al cuadrado o elevado al cubo. O más brevemente suprimiendo la palabra elevado, así 5²; 5³ se lee cinco al cuadrado, cinco al cubo.

En el caso que la base sea una letra, la costumbre es leer sencillamente la letra y su exponente. Ejemplo: a⁴; b⁷; aⁿ se leen respectivamente: a a la cuatro; b a la siete; a a la ene.

Potencia de exponente 0

Todo número (distinto de cero) elevado a la potencia cero es igual a 1, o sea, a⁰ = 1

• Sin embargo, en el conjunto N = {0,1,2...} de los números naturales se demuestra que 0⁰ = 1

• Como limite de una función real de variable real

Sea la función y = x^x definida en el intervalo (0,+∞), se puede hallar el límite pasando a la forma exponencial y = e^xlnx; el límite del exponente se puede encontrar por H'opital, para lo cual se escribe xlnx = lnx/(1/x), derivando en ambos miembros de la fracción, resulta (1/x)/ (-1/x²) = -x, cuyo límite cuando x tiende a 0, es cero. Por lo tanto el límite de y, se reduce al valor e⁰ = 1. En consecuencia el límite de x^x es 1, cuando x se aproxima a cero por la derecha.

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base, o sea, a¹ = a.

• Ejemplo: 452¹ = 452

Potencia de exponente negativo

Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma expresión pero con exponente positivo:

Como no existe el inverso de 0, no existen las potencias de 0 con exponente negativo.

Producto de potencias de igual base

El producto de varias potencias de igual base es otra potencia que tiene por base la base común y por exponente la suma de los exponentes de los factores.

a^m . aⁿ = a^{m + n}

• Ejemplo: 4³ 4⁵ = 4^{3 + 5} = 4⁸

Cociente de potencias de igual base

El cociente de dividir dos potencias de igual base, es otra potencia que tiene por base la base común y por exponente, la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor.

a^m: aⁿ = a^{m - n}

• Ejemplo: 2⁷: 2⁵ = 2^{7 - 5} = 2²

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base a; b y de exponente n, es igual al factor a elevado a n, multiplicado por el factor b también elevado a n:

(a . b)ⁿ = aⁿ . bⁿ

• Ejemplo: (5. 4)³ = 5³ . 4³

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes)

(a ^m )ⁿ = a^{m . n}

• Ejemplo: (6⁴)³ = 6^{4 . 3}

Potencias de base 10

En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas posiciones como indique el valor absoluto del exponente: hacia la izquierda si el exponente es positivo, o hacia la derecha si el exponente es negativo.

Ejemplos:

• 10^-4 = 0,0001
• 10^-5 = 0,00001
• 10⁴ = 10 000
• 10⁵ = 100 000

Potencias racionales de números reales

Si asumimos que a es un número real positivo y p/q es un número racional positivo, siendo p y q primos entre sí, ¿qué significa a^p/q?

Potencias reales de números reales

• ¿Cómo entender 2(^20.5)? Con otras palabras, explicar qué significa una potencia cuya base es 2 y su exponente la raíz cuadrada de 2. Este número es el llamado número de Gelfand.

Potencia compleja de un número complejo

Por definición, cualesquiera que sean los números complejos a diferente de 0 y b, se establece a^b = e^{bLn a. Siendo ew} = exp{wLne} = expx{w(1+2pi ik)}. Pero si no se consigna lo contrario se tomará k= 0, esto es, e^w = exp w.

1. 1^31/2 = cos(2k 3^1/2π ) +isen(3^1/2 π)
2. 5ⁱ = e^{2k π}(cos ln 5 + isen ln 5 )
3. 1^-i = e^2kπ
4. iⁱ = e^{(2kπ -1/2 )}
5. (3 -4i )^{1 + i} = 5e^{arctg4/3+2kπ} [cos( ln5-arctg4/3 ) +isen( ln5-arctg4/3 ) ]

Veáse también

• Monotonía de la Potenciación

Fuentes

• Gentile, Enzo R. (1976). Notas de Álgebra I (2a edición). Editorial Universitaria de Buenos Aires.
• Sócrates Rosell, F. Volumen I(Segunda Edición). Editorial Pedagógica.