Producto vectorial en R3
Producto vectorial en R3. En el álgebra lineal se define un K-espacio lineal V que incluye un grupo con la adición de vectores y una operación externa de KxV → V. Además para un espacio vectorial cualquiera se define el producto escalar de VxV → R. Sin embargo, solamente para los vectores de R3 se define el producto vectorial ( o producto aspa), siendo una aplicación de R3 x R3 → R3.
Sumario
Definición
Sean v y w dos vectores de R3 se define su producto vectorial como una aplicación que al par ordenado (w,v) le asigna el vector z. y se designa v × w = z
- El producto vectorial z
tiene las tres siguientes condiciones:
- El módulo del vector z es igual al producto de las normas de v y de w por el seno del ángulo que forman. ||z|| = ||v|||w|| sen <(v,w)
- El vector z es perpendicular al plano que contiene a los vectores v y w.
- Teniendo en cuenta que los tres vectores tiene un origen común la dirección de z corresponde a la del dedo cordial, considerando que la dirección de v sigue la dirección del dedo pulgar y la dirección de w, sigue la del dedo índice.
Propiedades
- Distributiva por la izquierda
- t×(v+w) =t×v + t×w
- también el producto vectorial es distributiva, con respecto a la adición de vectores, por la derecha. pero los resultados con la distribución de los mismos vectores no son iguales; por la anticonmutatividad del producto vectorial.
- Producto por un escalar
- aux(vxw) = ux(avxw)= ux(vxaw), donde a es un escalar, elemento del campo, y u, v y v son vectores de R3.
- Nulidad
el producto vectorial es el vector 0, cuando un factor es múltiplo escalar del otro, o geometricamente los vectores son paralelos.
- Módulo como área
El módulo del producto v × w es igual al área S del paralelogramo construido sobre los vectores v y w
- || v × w || = S
- v × w = Se, donde e es el vector unitario en la dirección de v × w
- Desarrollo por determinante
- se forma un determinante cuya primera fila ocupan los vectores unitarios i, j, k; en la segunda fila, los componentes de v (v1, v2, v3) y en la tercera fila los componentes de w (w1, w2,w3)
- se desarrolla el determinante por los elementos de la primera fila , resulta un vector iz1 + uz2 +kz3.
Irregularidad de propiedades típicas de operación algebraica
- No conmutativa
-
- v × w ≠ w × v, aunque se tiene v × w = - w × v
- No asociativa
se tiene que t×(v×w) ≠ (t×v)×w
- Inexistencia de elemento neutro
No hay ningún vector, como elemento neutro, u de modo que se a v×u =v
- Por vector cero
Sea el vector cero, denotado 0 = (0, 0, 0), no hay producto v×0, tampoco 0×v, pues el vector cero no tiene dirección.
Producto vectorial de tres vectores
Como no hay asociatividad en el producto de vectores, caben dos resultados.
- (a x b) x c = b(a·c) - a (b·c)
- a × (b × c) = b(a·c) - c (a.b)
Donde a, b y c son vectores de R3, x indica producto vectorial de vectores, · indica producto escalar y b(a·c) es el producto del vector b por el escalar a·c [1]
Como sistema algebraico
El par <R3 \{0}, × > apenas sería un monoide no asociativo, no conmutativo ni elemento neutro [2] .
Aplicaciones
- En mecánica: en movimiento de rotación.
- Para definir un álgebra no asociativa.
Referencias
Fuentes
- Geometría analítica de Kleténik, editorial Mir, Moscú, 1968
