Puntos de Lagrange
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Punto de Lagrange. Marcan las posiciones donde la atracción gravitatoria combinada de las dos masas grandes proporciona la fuerza centrípeta necesaria para rotar sincrónicamente con la menor de ellas. Son análogos a las órbitas geosincrónicas que permiten a un objeto estar en una posición "fija" en el espacio en lugar de en una órbita en que su posición relativa cambia continuamente.
Una definición más precisa pero técnica es que los puntos de Lagrange son las soluciones estacionarias del problema de los tres cuerpos restringido a órbitas circulares. Si, por ejemplo, se tienen dos cuerpos grandes en órbita circular alrededor de su centro de masas común, hay cinco posiciones en el espacio donde un tercer cuerpo, de masa despreciable frente a la de los otros dos, puede estar situado y mantener su posición relativa respecto a los dos cuerpos grandes. Visto desde un sistema de referencia giratorio que rota con el mismo período que los dos cuerpos co-orbitales, el campo gravitatorio de dos cuerpos grandes combinado con la fuerza centrífuga se compensa en los puntos de Lagrange, permitiendo al tercer cuerpo estar estacionario con respecto a los dos primeros.
Sumario
Historia y conceptos
En 1772, el matemático ítalo-francés Joseph-Louis Lagrange estaba trabajando en el célebre Problema de los tres cuerpos cuando descubrió una interesante peculiaridad. Originalmente, trataba de descubrir una manera de calcular fácilmente la interacción gravitatoria de un número arbitrario de cuerpos en un sistema. La mecánica newtoniana determina que un sistema así gira caóticamente hasta que; o bien se produce una colisión, o alguno de los cuerpos es expulsado del sistema y se logra el equilibrio mecánico. Es muy fácil de resolver el caso de dos cuerpos que orbitan alrededor del centro común de gravedad. Sin embargo, si se introduce un tercer cuerpo, o más, los cálculos matemáticos son muy complicados. Una situación en la que se tendría que calcular la suma de todas las interacciones gravitatorias sobre cada objeto en cada punto a lo largo de su trayectoria.
Sin embargo, Lagrange quería hacer esto más sencillo, y lo logró mediante una simple hipótesis: La trayectoria de un objeto se determina encontrando un camino que minimice la acción con el tiempo. Esto se calcula substrayendo la energía potencial de la energía cinética. Con esta manera de pensar, Lagrange reformuló la mecánica clásica de Newton para dar lugar a la mecánica lagrangiana. Con su nueva forma de calcular, el trabajo de Lagrange lo llevó a plantear la hipótesis de un tercer cuerpo de masa despreciable en órbita alrededor de dos cuerpos más grandes que ya estuvieran girando a su vez en órbita cuasi circular.
En un sistema de referencia que gira con los cuerpos mayores, encontró cinco puntos fijos específicos en los que el tercer cuerpo, al seguir la órbita de los de mayor masa, se halla sometido a fuerza cero. Estos puntos fueron llamados puntos de Lagrange en su honor.
En el caso más general de órbitas elípticas no hay ya puntos estacionarios sino que más bien se trata de un "área" de Lagrange. Los puntos de Lagrange sucesivos, considerando órbitas circulares en cada instante , forman órbitas elípticas estacionarias, geométricamente semejante a la órbita de los cuerpos mayores. Esto se debe a la segunda ley de Newton (), dónde p = mv (p es la cantidad de movimiento, m la masa y v la velocidad). p es un invariante si la fuerza y posición se multiplican por un mismo factor. Un cuerpo en un punto de Lagrange orbita con el mismo período que los dos cuerpos grandes en el caso circular, implicando, como sucede, que tienen la misma proporción entre fuerza gravitatoria y distancia radial. Este hecho es independiente de la circularidad de las órbitas e implica que las órbitas elípticas descritas por los puntos de Lagrange son soluciones de la ecuación de movimiento del tercer cuerpo.
Complicaciones a las leyes de Kepler
Tanto la Tierra como el Sol se influencian mutuamente a través de sus fuerzas gravitacionales. Esto hace que, si bien el Sol causa mareas sobre la Tierra, ésta a su vez causa perturbaciones en el movimiento del Sol. De hecho ambos cuerpos (el sistema Sol-Tierra) se mueven alrededor de un punto llamado centro de masas o baricentro, que está ubicado cerca del centro del Sol debido a la diferente masa de ambos cuerpos (en el caso del sistema Sol-Júpiter el baricentro se encuentra cerca de la superficie solar). Por otra parte, debido a que la masa de un satélite artificial es insignificante respecto de los cuerpos mencionados, no tiene influencia alguna sobre éstos.
Las Leyes de Kepler describen de forma simple el comportamiento de dos cuerpos orbitando uno alrededor del otro. La tercera ley que dice que el cuadrado de su período orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo de la distancia media con el Sol. Por esta razón, el aumento del radio da lugar a un incremento del período orbital, por tanto, dos cuerpos situados a diferentes distancias del Sol nunca tendrán un movimiento sincronizado.
Las simplicidades de las leyes de Kepler no son válidas si se tienen en cuenta las interacciones de varios cuerpos, como sucede en el Sistema Solar. Incluso si se considerara un grupo de tres, el Sol, la Tierra y un satélite artificial, las predicciones se complican. Así un satélite situado en la línea Sol-Tierra y entre ellos debería tener un periodo orbital menor de 1 año, pero si está a la distancia de 1,5 millones de km de la Tierra, en lo que luego se llamará L1, la atracción de la Tierra disminuye la atracción solar y su periodo es el mismo que el de la Tierra. Menor distancia no significa menor periodo.
Los puntos de Lagrange
Diagrama mostrando los cinco puntos de Lagrange en un sistema de dos-cuerpos de masa muy diferente (por ejemplo el Sol y la Tierra). En un sistema así, L3–L5 parece que giran en la misma órbita que el cuerpo segundo, aunque de hecho lo hace ligeramente más alejado del primero.
Los cinco puntos lagrangianos se llaman y definen como sigue:
El punto L1 está entre las dos masas grandes M1 y M2 en la recta que las une. Es el más intuitivo de los puntos de Lagrange: aquel en que las atracciones opuestas de los dos cuerpos mayores se compensan.
- Ejemplo: un objeto que orbite alrededor del Sol más cerca que la Tierra tendría un período orbital más corto que la Tierra, pero eso ignora el efecto de atracción gravitatoria de la Tierra. Si el objeto está directamente entre la Tierra y el Sol, entonces el efecto de la gravedad de la Tierra es el de debilitar la fuerza que tira del objeto hacia el Sol y, por lo tanto, aumenta el período orbital del objeto. Cuanto más cerca está el objeto de la Tierra, mayor es este efecto. En el punto L1, el período orbital del objeto es precisamente igual al período orbital de la Tierra.
El punto L1 del sistema Sol-Tierra es ideal para hacer observaciones del Sol. Los objetos aquí situados nunca son eclipsados por la Tierra o la Luna. El Observatorio Solar y de la Helioesfera (SOHO) se estaciona en punto L1, y el Advanced Composition Explorer (ACE) está en una órbita Lissajous alrededor también del punto L1. El punto L1 del sistema Tierra-Luna permite un acceso fácil a la órbita lunar y de la Tierra con un mínimo cambio de velocidad, delta-v, y sería ideal para una estación espacial tripulada a medio camino pensada para ayudar al transporte de carga y personal hacia y desde la Luna.
El punto L2 está en la línea definida por las dos masas grandes M1 y M2, y más allá de la más pequeña de las dos. En él la atracción gravitatoria de los dos cuerpos mayores compensa la fuerza centrífuga causada por el menor
- Ejemplo: un objeto que orbite el Sol más lejos que la Tierra tendría un período orbital más largo que el de la Tierra. La fuerza adicional de la gravedad de la Tierra hace disminuir el período orbital del objeto, y precisamente el punto L2 es aquel en que el período orbital es igual al de la Tierra.
El punto L2 del sistema Sol-Tierra es un buen punto para los observatorios espaciales, porque un objeto alrededor de L2 mantendrá la misma orientación con respecto al Sol y la Tierra y la calibración y blindaje son más sencillos. El Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP), así como el Observatorio Espacial Herschel ya están en órbita alrededor del punto L2, del sistema Sol-Tierra. El futuro Telescopio Espacial James Webb, también se situará en el punto L2 del sistema Sol- Tierra. El punto L2 del sistema Tierra-Luna sería una buena localización para un satélite de comunicaciones que cubriera la cara oculta de la Luna.
Si M2 es mucho más pequeño que M1, entonces L1 y L2 están a distancias aproximadamente iguales r de M2, igual al radio de la esfera de Hill, dado por: donde R es la distancia entre los dos cuerpos.
Esta distancia puede describirse como aquella en la que el período orbital correspondiente a una órbita circular con esta distancia alrededor de M2 y en ausencia de M1, es el tiempo que tarda en girar M2 alrededor de M1, dividido por .
Ejemplos:
- Sistema Sol y Tierra: 1.500.000 km de la Tierra
- Sistema Tierra y Luna: 61.500 km de la Luna
El punto L3 está en la línea definida por las dos masas grandes M1 y M2, y más allá de la mayor de las dos.
- Ejemplo: el punto L3 en el sistema de Sol–Tierra está en el lado opuesto del Sol, un poco más cerca del Sol que la propia Tierra. Esta aparente contradicción se explica porque el Sol está también afectado por la gravedad terrestre, y así gira en torno al centro de masas común o baricentro que, no obstante, se encuentra dentro del Sol. En L3 la fuerza gravitatoria combinada de la Tierra y del Sol hace que el objeto orbite con el mismo período que la Tierra.
El punto L3 en el sistema de Sol–Tierra fue un lugar popular utilizado para ubicar una "Contra-Tierra", en libros de ciencia ficción o en comics; aunque la observación directa por sondas y satélites demostró luego su inexistencia. En la realidad, L3 en el sistema Sol-Tierra es muy inestable, pues las fuerzas gravitatorias de los demás planetas pueden llegar a superar a la de la Tierra, (Venus, por ejemplo, pasa a 0.3 AU de L3 cada 20 meses).
El punto L4 y el punto L5 están en los vértices de triángulos equiláteros cuya base común es la recta que une las dos masas, de forma que el punto L4 precede al cuerpo pequeño un ángulo de 60º visto desde la masa grande, mientras que L5 gira detrás del cuerpo pequeño, aunque con radio mayor que éste, con un retraso de 60º visto a su vez desde el cuerpo grande. Estos puntos, así como el cuerpo menor de masa M2, no giran sobre el cuerpo grande, sino sobre el baricentro de ambos cuerpos marcado como b en la figura.
El cuerpo grande también gira sobre b con un radio r1 El radio r de la órbita común a los puntos L4 y L5 puede deducirse de la figura mediante razonamientos geométricos:
Teniendo en cuenta que los radios de las órbitas de los cuerpos grandes r1 y r2 están en relación inversa de sus masas: , se resuelve el triángulo formado por L4, b y el centro de masa del cuerpo menor; resultando en la relación .
Fuentes
- Explicación de los puntos de Lagrange por Prof. Neil J. Cornish
- Explicación de los puntos de Lagrange por Prof. John Baez
- Derivación elemental del punto de L1 (L2 es análogo)
- Punto de Lagrange en NASA
- Derivación elemental del punto de L4 (L5 es análogo)
