Raíz cuadrada de dos

Raíz cuadrada de dos. La escuela Pitagórica hizo un hallazgo de que la raíz cuadrada de dos no se podía expresar como la razón de de dos enteros; un logro que contradecía uno de sus principios de que toda cantidad es la razón de dos enteros y “los números gobiernan el universo”. Sin embargo, fue aceptado por Sócrates, por Eratóstenes, sobre todo desde el punto de vista geométrico. Pues , de alguna manera, indicaba la razón de la longitud de la diagonal de un cuadrado a a la longitud de su lado.

Definición

La raíz cuadrada de dos, simbolizada por 2^0.5 es un número real cuyo cuadrado es dos

Ecuacionalmente

Diremos que d es raíz de dos si, sólo si d² = 2-

Brevísima historia

• Los babilonios lo conocieron y lo usaron
• En la Escuela de Pitágoras, en Samos, llegaron a demostrar que no había una fracción ( o razón de enteros positivos) cuyo cuadrado sea igual a dos.
• En el siglo XIX con los trabajos de Cantor y Dedekind se llegó a fundamentar y probar que 2^0.5, no es un número racional

Características

Infinitud

• una característica es que su representación decimal es infinita, aperiódica.

Irracionalidad

es un número real irracional

Algebricidad

es una de las raices de la ecuación algebraica de segundo grado: x² -2 = 0; por tanto es un número algebraico.

Desigualdades

• 1 es menor que 2^0.5 y esta menor que 2
• La raíz cuadrada de n entero es mayor que 2^0.5, para cualquier entero mayor que 2.
• 1/n^0.5 < 1/2^0.5

Presencia

En la geometría

• Para la longitud de la diagonal de un cuadrado. d= 2^0.5l
• Si el lado de un cuadrado es 1, cabe que un lado es menor que la diagonal y esta menor que el semiperímetro.
• La longitud de la altura de un triángulo isósceles de cateto común = 1, es la mitad de 2^0.5
• La razón de los lados de dos cuadrados cuya relación es de un medio, es 1/2 ×2^0.5

En trigonometría

• El seno y coseno del ángulo de π/4 es igual a 2^0.5/4
• Lo mismo el seno y coseno de un ángulo de π/8 involucra la raíz cuadrada de 2.

Cálculo recursivo

Se parte de que 2^0.5 = (2/x_i × x_i) ^0.5 = 0.5× ( 2/x_i +x_i) desde x₁ = 2, por ejemplo, es un algorimo programable de mucha eficiencia

Fuentes

• José Vicente Ampuero: "Aritmética teórica", Editorial UNMS; Lima 1960
• Colección Shaumm Álgebra Moderna