Símbolo de Legendre ( teoría de los números)

El símbolo de Legendre, tema con nombre propio en la teoría de números, está ligado al tópico de los residuos cuadráticos.

Definición

Si p representa un primo mayor que dos y a un coprimo de p, el símbolo de Legendre- que se lee: "símbolo de a respecto a p"- se define = 1 si a es un residuo cuadrático, = -1 si a es un no residuo cuadrático módulo p.

Se colige, naturalmente, que (a/p)←→a^{p-1/ 2} (mód p).

Propiedades

1. a congruente con b(mód p) implica que (a/p) = (b/p). Lo cual resulta del hecho de que los números de una misma clase son simultáneamente resto o no restos cuadráticos.

2. (1/p) = 1; ya que 1 = 1² y, or lo tanto, 1 es un resto cuadrático.

3. (-1/p) = (-1)^p-1/2

4. (a² / 2) = 1

4. (ab...k /p) = (a/p) (b/p) ...(k/p)

Ejemplos

1. (-1/11)= -1, (2/11)= -1, (-2/11)=+1, (3/11) =+1
2. (-1/13)= +1, (2/13)= -1, (-2/13)=-1, (3/11) =+1
3. (-1/17)= +1, (2/17)= +1, (-2/13)=+1, (3/11) =-1

Fuentes

• I. Vinogradov: Fundamentos de la Teoría de los Números
• Niven & Zuckerman: Introducción a la Teoría de los Números
• Burton W. Jones: Teoría de los Números
• https://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolo_de_Legendre

Consúltese además

• Resto cuadrático
• Símbolo de Jacobi