Unidad imaginaria
Unidad imaginaria sirve para construir los números complejos, campo algebraico donde es posible resolver toda ecuación algebraica de coeficientes racionales [1]. La imposibilidad de resolver la ecuación x2 + 6x + 10 = 0 → (x+3)2 = -1, supondría conocer la raíz cuadrada de -1. Ello exige definir una nueva entidad matemática:
- La unidad imaginaria i. Y se conviene que i2 + 1 = 0. De lo anterior se desprende que las raíces cuadradas de -1 son i , -i.
Sumario
Otras posibilidades
Caben otras salidas. Puede formularse el concepto de «número complejo generalizado».
- Sin embargo, dada la ecuación x2 + 2x +2 = 0, se plantea la existencia de un "número no real" ε, tal que ε2 + 2ε +2 = 0, construyéndose un nuevo conjunto de «números planos», de la forma a +bε, donde a y b son números reales.
[2] Cardano, al resolver ecuaciones cúbicas, tuvo que recurrir a nuevos objetos matemáticos y así surgen los llamados «números complejos» de la forma x + yi donde x, y son números reales , i es la solución no real de x2 + 1 = 0.
Grupo finito con i
Las raíces de la ecuación algebraica de cuarto grado x4 -1 = 0 determinan el conjunto H = {1, -1, i, -i}, que es un grupo multiplicativo cíclico de orden 4, con dos generadores i, -i. Estas dos últimas raíces de la ecuación, se denominan raíces primitivas de la unidad. Los elementos del conjunto H representan los vértices de un cuadrado, ubicados en la circunferencia unitaria de centro en el origen de coordenadas y radio igual a 1.
Aspecto topológico
- i está en la frontera del conjunto C= {z ε C/ |z | < 1}
- i es un punto de acumulación del conjunto D = { z ε C/ |z | ≥ 1 }
Geometría
como vector o punto del plano i = (0, 1).
- Al multiplicar el número complejo real (a,0) por i es ai = (0,a), geométricamente es una rotación antihoraria de 90º; y el producto a(-i) = (0,-a) es una rotación antihoraria de 270º.
- Al multiplicar el número complejo z = (a, b) por i es (a,b)i = (-b, a) es una rotación antihoraria de z en 90º.
- Al multiplicar el número complejo z =(a,b) (-i) = =(a,b)×(-1)× i = (b,-a) es una rotación antihoraria de 180º, seguida de una rotación antihoraria de 90º.
Referencias
Consúltese además
- Número complejo
- Teorema fundamental del álgebra
- Conjunto (matemáticas)
- Ecuación algebraica