Valor absoluto en R

Valor absoluto en R: Si tenemos los números reales sobre una recta numérica, por el Postulado de Dedekind, sabemos que a cada punto de la recta le corresponde un único número real y recíprocamente. Como hay números positivos y hay números negativos ubicamos los positivos a la derecha del origen O del sistema de coordenadas de la recta y los negativos, a la izquierda. Dos cosas nos interesan la distancia entre dos puntos sobre la recta numérica y la distancia de un punto al origen. Justamente esta distancia nos da el concepto de valor absoluto de un número real, este entendido como la coordenada de un punto sobre la recta.

Definición

Se conviene que la distancia del punto A(a) al origen O(0), denotado por d(A, O), represente el valor absoluto del número a, que localiza el punto A.

• d(A,0) igual al valor absoluto del número real a, denotado por |a|

|a| = a cuando a es no negativo

|a| = -a siempre que a sea negativo

En caso de un número positivo, aritméticamente, el valor absoluto es el mismo número; el valor de 0 es 0, y el valor de un número negativo es su opuesto.

Definiciones equivalentes

1. | a| = (a²)^0.5, en otras palabras, el valor absoluto de a es igual a la raíz cuadrada aritmética de su cuadrado.
2. |a| = máx {a; -a}, cuando a ≠ 0, a ≠ -a y tienen distinto signo, pero uno de ellos es positivo, justo el que es positivo es el mayor y es su valor absoluto.
3. |a| = a×sgn(a), donde sgn(a) representa el signo de a, que es 1 si a > 0; es 0, cuando a = 0 y -1, cuando a es negativo.

Propiedades

• |a| ≥ 0; el valor absoluto es no negativo y es cero, únicamente, cuando a = 0.
• |a| = |-a|, tanto el número a como su opuesto -a tienen el mismo valor absoluto.
• |a|²ⁿ = a²ⁿ para n entero positivo. La potencia par del valor absoluto de todo número es igual a la potencia par del mismo.
• |ab| = |a||b|, el valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
• |a÷b| = |a|÷|b|, para el cociente, un caso particular del producto, o sea por el inverso multiplicativo del divisor, que no debe ser nulo.
• El número a está es uno de los extremos del intervalo [-|a| , |a|]
• |a ± b | ≤ |a| + |b|, el valor absoluto de una suma o diferencia de dos números cualesquiera no excede a la suma de sus respectivos valores absolutos. Como ejemplo: |-15 -(-35)| ≤ |-15|+ |-35 |. .

• ||a|-|b|| ≤ |a-b| la distancia entre los valores absolutos de dos números no excede la distancia entre dichos números.

Ecuaciones

• |x| + |y| = 1 su gráfica es un cuadrado cuyos vértices están en (1,0), (0,1), (-1,0) y (0;-1)
• y = |x-1| su gráfica es un par de rayos perpendiculares en el semiplano positivo con un punto común (1,0)
• y = 1 - |x|, su gráfica es un par de rayos perpendiculares , en dirección al semiplano negativo, con su punto común, y vértice del ángulo formado por los rayos, el punto (0.1)

Desigualdades básicas

• |x| < c, s. s. s. -c < x < c si el valor absoluto de un número es menor que un positivo, el primero está en el intervalo abierto de extremos -c y c.
• |x| > c >0 sii x > c o bien x < -c, x está en el exterior del intervalo abierto (-c;0)

Aplicaciones

• El valor absoluto se usa para definir una sucesión acotada y no acotada de números reales.
• Se emplea también para hallar el límite de una sucesión acotada
• Se usa al definir el límite de una función real de variable real.
• Se utiliza para hallar la distancia entre dos puntos M y N de una recta numérica, d(M,N) = |m-n| donde m y n son las coordenadas de los puntos citados.
• Se puede emplear para definir una función continua de R en R, sin acudir el concepto de límite.

Fuentes

• Haaser- La salle- Sullivan Análisis matematico I
• Luis Romero y Luis Mercado: Análisis Matemático , sin editorial, docentes de UNMSM, Lima, s/f.