Fracción algebraica

Fracción algebraica Concepto: Fracción que tienen una variable en el denominador

Fracciones Algebraicas: Cociente de dos polinomios. Estas se pueden representar de la siguiente forma:

Fracciones algebraicas

Si A y B son dos expresiones algebraicas con B ≠ 0, y en B aparece al menos una variable con exponente entero positivo, el cociente indicado recibe el nombre de fracción algebraica.
Son fracciones algebraicas:

Simplificación y ampliación de fracciones algebraicas

En una fracción algebraica, al igual que una fracción numérica, también es posible multiplicar o dividir el numerador y el denominador por un mismo factor (diferente de cero), obteniéndose así una nueva fracción equivalente a la fracción dada.

Para amplificar una fracción algebraica se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio.
Ejemplo:

Ejemplo:
Simplifica las fracciones algebraicas siguientes:

Para simplificar esta expresión algebraica dividimos el numerador y el denominador por 2m²n (que es el mayor factor común a ambos).

Aquí no se puede simplificar directamente; tenemos que descomponer en factores el numerador y el denominador

Factorizando ambos trinomios:

Operaciones con fracciones algebraicas

Multiplicación

Para multiplicar fracciones algebraicas se procede de forma análoga que para multiplicar fracciones comunes. Si tenemos las fracciones algebraicas se cumple que:

Con el objetivo de obtener un resultado ya simplificado, es conveniente proceder de la forma siguiente:

• Factorizar los numeradores y denominadores de las fracciones dadas (cuando no lo estén ya).
• Simplificar los factores que se comunes a los numeradores y denominadores.
• Efectuar las multiplicaciones indicadas.

Ejemplo:
Efectúa las multiplicaciones siguientes:

Como los denominadores y los numeradores son monomios, se procede a simplificar y después efectuamos los productos indicados.


Descomponemos en este caso el numerador del primer factor (diferencia de cuadrado), el numerador del segundo factor (binomio, extracción de factor común) y el denominador del segundo factor (trinomio)
Simplificamos y efectuamos la multiplicación Eliminamos el paréntesis multiplicando 2 por m+2

División

El procedimiento para dividir fracciones algebraicas es el mismo que ya conoces para dividir fracciones comunes. Si tenemos las fracciones algebraicasse cumple que:

Luego:
Para dividir una fracción algebraica por otra, se efectúa el producto del dividendo por el recíproco del divisor. Ejemplo:
Efectúa las divisiones siguientes:

1. Efectuamos el producto del dividendo por el recíproco del divisor.
2. Descomponemos: en el numerador del primer factor la diferencia de cuadrado y extraemos factor común en el denominador del segundo factor.
3. Efectuamos la multiplicación y eliminamos el paréntesis.

Adición y sustracción

Para adicionar o sustraer fracciones algebraicas se procede de forma análoga que para multiplicar fracciones comunes. Luego aplicaremos el procedimiento siguiente:

• Determinar el m.c.m de los denominadores, que será el denominador común.
• Dividir el denominador común por cada uno de los denominadores y ampliar los numeradores
• Efectuar los productos indicados en el numerador y reducir términos semejantes, en caso de que existan.
• Simplificar el resultado si es posible.

Ejemplo.
Calcula y simplifica si es posible.

• Se determina el m.c.m de 6a y 4a², que es 12a².
• Se divide este término por 6a y 4a² respectivamente y se obtiene los factores de ampliación 2a y 3.
• Se multiplica 2a por 5 y 3 por a – 2
• Se efectúan los productos indicados y se agrupan términos semejantes.
• Se simplifica si es posible

• Para determinar el m.c.m se factoriza el denominador de la primera fracción, luego el m.c.m es (x + 4) (x – 2), ya que dicha expresión contiene a (x – 2)
• Se divide el m.c.m por cada denominador y se amplían los numeradores.
• Se efectúan los productos indicados.
• Se agrupan términos semejantes y se simplifica si es posible.

Fuentes

• Libro de texto de Matemática 9no Grado.
• Vitutor
• Álgebra