Función lineal

Función lineal Concepto: La función que a cada x€R le hace corresponder un número real f(x) = mx + n. Donde m y n son números reales dados, se denomina función lineal.

Función lineal. La función que a cada x€R le hace corresponder un número real f(x) = mx + n. Donde m y n son números reales dados, se denomina función lineal.

Características generales

Una función lineal según la primera definición dada anteriormente representa una aplicación lineal si y sólo si n = 0. Así, algunos autores llaman función lineal a aquella de la forma mientras que llaman función afín a la que tiene la forma , cuando n es distinto de cero. La grafica de la función lineal es una recta.

Los valores de m y n son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y n es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos m modificamos la inclinación de la recta y cuando cambiamos n desplazamos la línea arriba o abajo.

Pendiente

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Si m > 0, la recta se inclina hacia arriba, la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0, la recta se inclina hacia abajo, la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

Si m = 0, la recta es paralela al eje x.

Calculo de la pendiente de la recta

La pendiente m de la recta que pasa por los punto P1(x1; y1) y P2(x2; y2) se calcula por la fórmula

Cero de la función

El dominio de la función lineal es el conjunto de los números reales.

El elemento del dominio de la función lineal f(x) = mx + n (m ≠0) cuya imagen es cero, se denomina cero de esta función.

Usos diversos

En la física

• x = vt + x₀, representa el espacio x recorrido por un móvil, a una velocidad constante v, durante el tiempo t que parte del punto que dista x₀, del origen de coordenadas. En este caso x = f(t).

En la economía

1. Si un pasajero gasta diariamente en pasaje p pesos, al cabo de x días habrá gastado la suma y = px.
2. En un cierto país a cada trabajador estatal le dan un aguinaldo de 300 unidades monetarias por Año nuevo, sea x el entero positivo que identifica al trabajador en una lista oficial. Se formula la función f(x) = 300, que es un caso de función constante para valores enteros.

Ejercicios:

1-Marque con una “X” lo que consideres correcto:

a) Si la relación que se establece entre los elementos de dos conjuntos constituye una correspondencia, entonces:

___ es función.

___ no es función.

___ no se puede decidir.

b) Si la relación que se establece entre los elementos de dos conjuntos no constituye una correspondencia, entonces:

___ es función.

___ no es función.

___ no se puede decidir.

c) Si en una correspondencia, están asociados todos los elementos del conjunto de llegada, con elementos del conjunto de partida, entonces:

___ es función.

___ no es función.

___ no se puede decidir.

d) Si al menos un elemento del conjunto de llegada de una correspondencia, está asociado, entonces:

___ es función.

___ no es función.

___ no se puede decidir.

e) Si los elementos asociados del conjunto de llegada de una correspondencia, lo hacen cada uno con un único elemento del conjunto de partida, entonces:

___ es función.

___ no es función.

___ no se puede decidir.

f) Si cada uno de los elementos del conjunto de partida de una correspondencia, está asociado con un único elemento del conjunto de llegada, entonces:

___ es función.

___ no es función.

___ no se puede decidir.

g) Si la relación que se establece entre los elementos de dos conjuntos representa una función, entonces:

___ es una correspondencia

___no es una correspondencia

___no se puede decidir

2- Escribe “V” si es verdadero y “F” si es falso. Justifica en cada caso.

En una función:

___ Todos los elementos del dominio están relacionados con elementos del conjunto imagen.

___ Todos los elementos del conjunto imagen están relacionados con elementos del dominio.

___ Dos elementos del dominio pueden estar relacionados con un mismo elemento del conjunto imagen.

­­___ Dos elementos del conjunto imagen pueden estar relacionados con un mismo elemento del dominio.

3- Una función numérica viene dada por la correspondencia siguiente: “A cada elemento del dominio se le asigna su duplo”.

Complete las siguientes situaciones de manera que obtengas una proposición verdadera:

a) La imagen del argumento –2 es ___

b) 2 es la imagen del argumento ___

c) -1 es pre–imagen de ___

d) 0 es imagen de ___

e) La imagen de 2 es ___

f) La imagen de un elemento cualquiera x es ___.

g) Marque con una “x” la ecuación que consideres define a la función descrita:

____ y= x + 2 ____ y= -x + 2 ____ y= 2x ____ y= -2x ____ y= x/2.

g) Explique a un compañero cómo procedió en el inciso f).

4- ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones definen una función lineal?. Justifique en cada caso:

a) y= x2+2 b) y= 3x–4y c) p= 2m+5 d) y= 9 e) y= 2x+4

5- Clasifique las siguientes proposiciones en verdaderas o falsas. Justifique las falsas

a) __ El cero de la función f(x)=4x-8 es x = -2

b) __ La función f(x)=1/2x-5 es monótona creciente

c) __ La imagen de la función g(x)= -1/2x es el conjunto de los números reales.

d) __ La función h(x)=3x+5 corta el eje de las ¨ y ¨ en el punto (0;-5)

e) __ La función p(x)=5 es una recta paralela al eje ¨ y ¨

6- Dadas: g(x)= x – 1; h(x)= 5x; t(x)= -x – 1; v(x)= 5x - 10.

a) Determine en cada caso m y n.

b) Halle: g(1); h(0); t(-1); v(-2)

c) ¿Cuál es el valor de la imagen en cada uno de los casos del inciso b)?.

Nota: Al elemento del dominio cuya imagen es cero, se le llama cero de la función lineal.

d) ¿Cuál es el cero de cada una de las funciones g(x), h(x), t(x) y v(x)?.

7- Dada la función f(x)= 2x + 2

I. Determine el valor de x para el cual:

a) f(x)= 4 b) f(x)= -8 c) f(x)= 0

II. ¿Cuál es el cero de f(x)?. ¿Por qué?.

III. Represente gráficamente estas funciones.

8- Determine los ceros de las siguientes funciones lineales:

a) f(x)= x + 2 b) h(x)= 2x + 4 c) y= -3x – 1 d) y= 3

I. Escribe en cada caso el par ordenado correspondiente.

II. Represente las funciones gráficamente.

Fuente

• Baño Muñoz Félix. Colectivo de autores. Matemática 8vo grado.Editorial Pueblo y Educación. 1991.