Teorema de Hahn-Banach

El Teorema de Hahn - Banach , en análisis funcional especialmente, es una herramienta usada en el problema de la prolongación de un funcional lineal, hecho que sucede frecuentemente. Y si eso es el caso, la proposición siguiente es un instrumento de valiosa ayuda.

Teorema y corolarios

Texto de la proposición

Todo funcional lineal acotado h definido en una variedad lineal L₀ de un espacio lineal normado L puede ser prolongado en todo el espacio sin incidir en el crecimiento de la norma de h.

Para la aclaración del teorema presentamos un

Lema

Cualquier funcional lineal acotado h definido en una variedad lineal L₀, subconjunto de L y siempre densa en L, se prolonga continuamente de manera única a todo el espacio sin que la norma de h aumente.

En la práctica sus corolarios del teorema son más usados que la misma proposición:

Corolarios

• Si v es un elemento no nulo de L, entonces hay un funcional lineal h tal que ||h|| = 1 y h(v) = ||v||

Definamos en L₀ = {x: x = tv, t es real} el funcional h(x) = t||v|| aquí x = tv. Según enunciado, la prolongación de este funcional a todo el espacio L es el funcional requerido.

• Por cualquier punto v de un disco unitario D se puede trazar un plano de apoyo a D.

• Si L₀ subconjunto de L es una varieda lineal y v ≠ 0, entonces hay un funcional lineal h tal que h(x) = 0 para cualquier x de L₀, h(v) = 1, además

||h|| = 1÷inf || x-v|| x esté en L₀.

• dos elementos distintos v, w de un espacio localmente convexo siempre pueden ser separados mediante un funcional lineal, vale decir, hay un funcional lineal h tal que

h(v) ≠ h(w)

Fuentes

• V. Boss: Análisis funcional Editorial URSS, Moscú 2011
• G. D. Lugovaia: Análisis funcional (curso avanzado) Editorial URSS, Moscú 2011

Véase además

• Funcional
• Espacio normado
• Norma

Enlace externo

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