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Diferencia entre revisiones de «Conjunto conexo en la recta real»
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En cierto modo la [[topología]], como disciplina [[matemática]], es el estudio de las propiedades o invariantes topológicas; entre estas: conexidad, compacidad, interior, adherencia, vecindad, etc. Con un concepto, en cierto modo elemental, se va a definir qué es un conjunto conexo en la recta real, sin necesidad de utilizar la idea de conjunto abierto o de separación. | En cierto modo la [[topología]], como disciplina [[matemática]], es el estudio de las propiedades o invariantes topológicas; entre estas: conexidad, compacidad, interior, adherencia, vecindad, etc. Con un concepto, en cierto modo elemental, se va a definir qué es un conjunto conexo en la recta real, sin necesidad de utilizar la idea de conjunto abierto o de separación. | ||
Revisión del 11:15 1 nov 2019
En la topología general uno de los conceptos más importantes es el de conjunto conexo, que no es sino la formalización de la idea intuitiva de que una figura o conjunto, en consideración, es de una sola pieza.
En cierto modo la topología, como disciplina matemática, es el estudio de las propiedades o invariantes topológicas; entre estas: conexidad, compacidad, interior, adherencia, vecindad, etc. Con un concepto, en cierto modo elemental, se va a definir qué es un conjunto conexo en la recta real, sin necesidad de utilizar la idea de conjunto abierto o de separación.
Sumario
[ocultar]Conjunto conexo
Una figura conexa la concebimos sin fragmentación. De una sola pieza. ¿Pero cómo es conjunto conexo en la recta?
Definición
Un conjunto K, subconjunto de la recta ( o de los números reales) es un conjunto conexo si el intervalo cerrado formado por cualquiera de dos de sus puntos también es parte del conjunto K.
K es un conjunto conexo en R s.s.s. a,b ε K, implica [a;b] es parte de K.
Ejemplos
Cualquier tipo de intervalo es un conjunto conexo. También lo son:
- I =<a;b> pues si m y n son puntos de I, con m<n, se cumple que a<m<n<b y todo punto x que está en [m;n] está también en I; por lo tanto [m;n] es subconjunto de I.
- J = <a,b], pues para [c;b], con a<c<b, se tiene que [c;b] es parte de J.
- H = [a;b], como a y b están en H, se verifica que [a;b] es parte de [a;b]
No es conjunto conexo el conjunto A=[1; 6]\{3} pues el intervalo cerrado [2; 4] no es parte de [1;6], a pesar de que 2 y 4 están en [1,6]. Pues; A no constituye, geométricamente, una sola pieza.
Definición alternativa
Sea (R, T) el espacio topológico usual de R. Se dice que un subconjunto L de R es conexo en (R,T) si para todo par de subconjuntos abiertos C y D de (R,T), tales que L es parte de C unión D, además L, C y D no tienen elementos comunes, se infiere que L con C o L con D no tienen puntos comunes.
Proposición
- Un conjunto L de números reales( puntos de la recta real) es conjunto conexo de R si, y solamente si, es un intervalo.
Corolario
Cualquier intervalo de números reales es un conjunto conexo
Referencias
Fuente
- Munkres: Topología
- Horvath: Introducción a la topología general
- https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_conexo
Temas concomitantes
- Conexidad
- Intervalo en R
- Número real
